方程式と不等式｜算数から数式への橋渡し

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算数から数式への橋渡し（初級・読む24分＋演習30分）

この授業のゴール

• 等式の性質を使って1次方程式を解き、解を元の式に代入して検算できる
• 不等式を解き、両辺に負の数を掛ける・割るときに向きが逆になる理由を数直線で説明できる
• 利益が0になる点(損益分岐点)と、利益が正になる条件の違いを、整数の制約も含めて答えられる
• 未知数の意味・単位・取りうる値の範囲を、解く前と解いた後に書いて確認できる

仕事でどう使うか

「何個売れば赤字にならないか」「予算内に収めるには単価をいくらにすべきか」「目標利益を達成する件数は」。仕事の多くの問いは、未知数を求める方程式か、条件を満たす範囲を求める不等式の形をしています。

成果物でいえば、費用対効果の試算シート、採算ラインを示した企画書、判定ルールの仕様書です。「数字を出して終わり」にせず、答えの意味と、使うときの条件（整数、範囲）まで言えることが目標です。

前提

次の言葉を使います。不安があれば先に戻ってください。

• 文字式と代入（利益 $L=(p-v)q-F$ の意味と単位）→ 文字式と代入
• 負の数と数直線（向きの反転の説明に使う）→ 負数・絶対値・数直線
• 分数と小数（割り算の結果の読み方）→ 分数と小数と比

この授業は、前の授業で作った利益の式をそのまま使います。式の文字の意味を忘れた場合は、先にそちらへ戻ってください。

身近な状況：何個売れば赤字を脱するのか

前の授業のキャンドル店（架空）です。売価1,200円/個、変動費700円/個、固定費10,000円/月でした。利益は $L=500q-10000$（円）でした。

店主が聞きます。「何個売れば、損も得もない状態になる？」

ある担当者は、「固定費10,000円を売価1,200円で割ればよい」と考え、$10000\div1200\approx8.3$ 個と答えました。8個売ると、売上 $1200\times8=9600$ 円、費用 $10000+700\times8=15600$ 円。差は$-6000$円で、まだ大きな赤字です。材料費などの変動費を落としていたのが間違いでした。

1個売るごとに入るのは売価の1,200円ではなく、変動費を引いた500円です。10,000円を500円/個で回収するには、20個が必要です。

この授業では、(1)利益が0になる個数を求める方程式、(2)利益が正（黒字）になる個数の範囲を求める不等式、(3)答えを実際の個数（整数）で言う方法、を順番に学びます。

直感的な説明：天秤と、数直線上の「ここから右」

等式はつり合った天秤です。左右の皿の重さが等しい状態で、両側に同じ重さを足しても、取り除いても、つり合いは保たれます。方程式を解くとは、「皿の片方に $x$ だけを残す」ように、両側に同じ操作を行うことです。

$$500q - 10000 = 0$$

両側に10,000を足すと $500q = 10000$。両側を500で割ると $q = 20$。

不等式は傾いた天秤です。「左の方が重い」という状態は、両側に同じ重さを足しても変わりません。

$$500q - 10000 > 0 \quad\Rightarrow\quad 500q > 10000 \quad\Rightarrow\quad q > 20$$

数直線で表すと、「20より右」の範囲です。20そのものは含まれません（白丸で表します）。

ただし、負の数を掛けたり割ったりするときだけ、傾きが逆になります。$2<3$ の両側に $-1$ を掛けると $-2$ と $-3$ です。数直線では $-3$ の方が左にあるので、$-2>-3$。大小が逆転しました。理由は、$-1$ を掛けることが、数直線を0を中心に左右反転させる操作だからです(負数・絶対値・数直線)。

たとえ話の限界：天秤のたとえは、重さが正の数であることを前提にしています。負の数が入る式では、天秤の絵が使えないので、数直線で確認します。

正確な定義：方程式と不等式の解き方

等式は「左辺＝右辺」の式、方程式は未知数を含む等式です。方程式を成り立たせる未知数の値を解といい、解を求めることを「方程式を解く」といいます。

等式の性質（$A=B$ のとき）：

1. $A+c=B+c$（両辺に同じ数を足す）
2. $A-c=B-c$（同じ数を引く）
3. $A\times c=B\times c$（同じ数を掛ける）
4. $A\div c=B\div c$（$c\ne0$ の同じ数で割る）

不等式は「<、>、≤（以下）、≥（以上）」を使って大小を表す式です。

不等式の性質（$A<B$ のとき）：

1. $A+c<B+c$、$A-c<B-c$（足す・引く：向きは変わらない）
2. $c>0$ のとき $Ac<Bc$（正の数を掛ける・割る：向きは変わらない）
3. $c<0$ のとき $Ac>Bc$（負の数を掛ける・割る：向きが逆になる）

解き方の手順：

1. 未知数の意味・単位・取りうる範囲を書く。
2. 式を立てる。
3. 両辺に同じ操作をして、未知数だけを左辺に残す。
4. 解を元の式に代入して検算する（不等式は、範囲の内側と外側の値を1つずつ代入）。
5. 解を元の問題の言葉に戻して、範囲の制約を適用する。

利益の方程式と不等式（$L=(p-v)q-F$、$p>v$）：

$$(p-v)q-F=0 \ \Rightarrow\ q=\frac{F}{p-v}\qquad (p-v)q-F>0 \ \Rightarrow\ q>\frac{F}{p-v}$$

ここで $\dfrac{F}{p-v}$ は、固定費（円）を1個当たりの貢献利益（円/個）で割った値で、単位は個です。$p-v>0$ の仮定を使っているので、割っても不等号の向きは変わりません。数値を代入すると $\dfrac{10000}{1200-700}=\dfrac{10000}{500}=20$ です。

不等号の向きが逆になる例：

$$-2x>8$$

両辺を $-2$ で割ると、向きが逆になって $x<-4$。確かめ：$x=-5$ を代入すると $-2\times(-5)=10>8$ で成立。$x=-3$ を代入すると $-2\times(-3)=6>8$ は不成立。数直線では、$-4$ より左の範囲が解です。

整数の制約：個数 $q$ は整数です。$q>20$ を満たす最小の整数は 21 です（20は含まれない）。$q\ge20$ なら20から。「損益分岐点の個数」と「黒字になる最小の個数」は、損益分岐点がちょうど整数のときは1個違います。

段階付き例題：採算ラインを求めて意味を言う

問題：売価1,200円/個、変動費700円/個、固定費10,000円/月。(1)損益分岐点の個数、(2)黒字になる最小の個数、(3)損益分岐点での売上、(4)月の利益を20,000円以上にするための最小の個数、を求めよ。

ステップ1：未知数を決める。$q$＝月の販売個数（個）。0以上の整数。

ステップ2：式を立てる。$L=(1200-700)q-10000=500q-10000$（円）。

ステップ3：(1)方程式を解く。

$$\begin{aligned}500q-10000&=0\\500q&=10000\ \ (\text{両辺に }10000\text{ を足す})\\q&=20\ \ (\text{両辺を }500\text{ で割る})\end{aligned}$$

検算：$q=20$ のとき売上 $1200\times20=24000$、費用 $10000+700\times20=24000$。差は0で成立。損益分岐点は20個です。

ステップ4：(2)不等式を解く。$500q-10000>0$ より $q>20$。20個はちょうど利益0で、黒字ではありません。整数の最小は21個。検算：$q=21$ で $L=500\times21-10000=500$円（黒字）。$q=20$ は0円。

ステップ5：(3)分岐点の売上。$24000$円。この売上を超えれば黒字、という目安になります。この金額は、費用の合計 24,000円とも一致します。

ステップ6：(4)目標利益。$500q-10000\ge20000$ より $500q\ge30000$、$q\ge60$。ちょうど60個で20,000円に達するので、最小は60個です。検算：$500\times60-10000=20000$。

結果の意味：「20個売れば赤字を脱し、21個目から利益が出る。月2万円の利益を狙うなら60個必要」。企画書にはこの文章を書きます。

操作して理解する：コードで解を確かめ、条件を変える

表を作って、解を直接確かめます。実行前に、利益が初めて正になる行を予想してください。

import math

p, v, F = 1200, 700, 10000
for q in range(18, 24):
    L = (p - v) * q - F
    state = "黒字" if L > 0 else ("損益ゼロ" if L == 0 else "赤字")
    print(q, L, state)

be = F / (p - v)                  # 損益分岐点の個数（小数のこともある）
print("分岐点:", be)
print("黒字になる最小の整数:", math.floor(be) + 1)
print("切り上げ ceil だけだと:", math.ceil(be), "（20個は損益ゼロで黒字ではない）")

出力は、18個と19個が赤字（−1000、−500）、20個が損益ゼロ、21個以降が黒字（500、1000、1500）です。分岐点は 20.0、最小の整数は 21 です。

• F / (p - v) は、固定費を貢献利益で割った値。/ は小数（float型）を返します。
• math.floor(x) は小数点以下を切り捨て、math.ceil(x) は切り上げる関数です。floor(be) + 1 は「分岐点より大きい最小の整数」を求める方法です。分岐点が20.0のときも33.33のときも使えます。
• 条件を変えて試してみましょう。売価を1,000円に下げると、貢献利益は300円/個で、分岐点は $10000\div300\approx33.3$ 個、黒字の最小は34個です。

import math
for p in [1200, 1000, 900]:
    be = 10000 / (p - 700)
    print(p, round(be, 2), math.floor(be) + 1)

売価が下がるほど分岐点は急に遠くなります（分岐点は1200円で20個、1000円で約33.3個、900円で50個。黒字の最小の整数は21個、34個、51個）。値引きは、数量を大きく増やさないと元が取れません。この感覚が、値引き施策の判断に役立ちます。

発展：感度分析と、等式変形で気をつける条件

感度分析：損益分岐点 $q^*=\dfrac{F}{p-v}$ が、各数の変化にどれだけ敏感かを調べる方法です。$p=1200,v=700,F=10000$ から、1つずつ変えてみます。

売価の10%の低下は、変動費の10%の上昇より影響が大きいことがわかります。売価は金額が大きいため同じ10%でも変化幅が大きく（120円と70円）、貢献利益（$p-v$）が一気に小さくなるためです。

等式変形で注意する条件：

• 両辺を割るときは、割る数が0でないこと（$c\ne0$）。$p-v=0$ のとき、$(p-v)q=F$ は成り立ちません。売価と変動費が等しければ、どれだけ売っても固定費を回収できません。
• $p<v$（売るほど損）のとき、$p-v<0$ なので、不等式 $(p-v)q>F$ を $p-v$ で割ると向きが逆になります。「$q<\dfrac{F}{p-v}$」となり、右辺は負の数なので、$q\ge0$ を満たす解は存在しません。符号の場合分けが必要です。
• 2つ以上の未知数がある場合(連立方程式)は、1つずつ消去して解きます。グラフでの見方は 座標と関数の読み方 で扱います。

不等式の等号：「以上（≥）」と「より大きい（>）」の違いは、境界の値を含むか否かです。業務の基準（「30件以上なら承認」）では、境界を含むか仕様書で必ず明記します。

よくある失敗

失敗1：固定費を売価で割り、変動費を落とす

誤った例：損益分岐点を $10000\div1200\approx8.3$ 個と答えた。

p, v, F = 1200, 700, 10000
wrong = F / p
right = F / (p - v)
print(wrong, right)
print("8個のとき:", (p - v) * 8 - F)        # -6000: まだ赤字
print("20個のとき:", (p - v) * 20 - F)      # 0

1個売って回収できるのは売価ではなく、変動費を引いた貢献利益(500円)です。誤答の8.3個では、まだ6,000円の赤字です。直し方：検算で、答えの個数を元の利益の式に代入して、本当に0になるか確かめます。

失敗2：負の数で割るのに、不等号の向きを変えない

誤った例：$-2x>8$ を、両辺を $-2$ で割って $x>-4$ とした。

def holds(x):
    return -2 * x > 8

print("x=-5:", holds(-5))   # True  (x < -4 の側)
print("x=-3:", holds(-3))   # False (x > -4 の側)
print("x=0 :", holds(0))    # False

$x>-4$ の側にある $x=-3$ や0は、元の式を満たしません。正しくは $x<-4$ です。直し方：解いたあとで、範囲の内側と外側の数を元の式に代入して確認します。負の数を掛ける・割る場面では、向きを反転すると覚えます。

失敗3：損益分岐点の個数を「黒字になる個数」としてしまう

誤った例：「損益分岐点は20個なので、20個売れば黒字になる」と報告した。

p, v, F = 1200, 700, 10000
for q in [19, 20, 21]:
    print(q, (p - v) * q - F)

出力は、19個で−500円、20個で0円、21個で+500円です。20個は損益ゼロで、黒字ではありません。黒字は $L>0$、つまり21個以上です。直し方：「利益が0」と「利益が正」を区別して、企画書では「20個で収支均衡、21個から黒字」と書きます。分岐点が小数（33.3個など）のときは、切り上げて34個を黒字の最小とします。

まとめ

• 方程式は両辺に同じ操作をして未知数を求める。解は元の式に代入して検算する。
• 不等式は負の数を掛ける・割るときだけ向きが逆になる。数直線と代入で確かめる。
• 損益分岐点は $q=\dfrac{F}{p-v}$。固定費を売価ではなく、貢献利益(売価−変動費)で割る。
• 利益0(収支均衡)と利益が正(黒字)は別。整数の個数では、境界の次の整数が黒字の最小になることがある。
• 答えには意味・単位・整数などの制約を付けて、使える形で報告する。

用語

方程式と解（equation / solution）

未知数を含む等式を方程式、成り立たせる未知数の値を解という。

不等式（inequality）

<、>、≤、≥ を使って大小の条件を表した式。負の数を掛ける・割ると向きが逆になる。

損益分岐点（break-even point）

利益がちょうど0になる販売数(または売上)。固定費÷(売価−変動費)で求める。

貢献利益（contribution margin）

1個売るごとに、固定費の回収と利益に回せる金額。売価から変動費を引いた値。

検算（verification by substitution）

求めた解を元の式に代入して、条件を満たすかを確かめること。

よくある質問

方程式と不等式は、どう使い分けますか？

「ちょうど〜になる値」を知りたいときは方程式(損益分岐点＝利益がちょうど0)、「〜を満たす範囲」を知りたいときは不等式(黒字になる範囲)です。実務では、境界の値を方程式で求め、範囲を不等式で判断する流れが多いです。

なぜ負の数で割ると向きが逆になるのですか？

負の数を掛ける・割ることは、数直線を0を中心に左右反転させる操作だからです。$2<3$ を反転すると $-2>-3$。数直線で、小さい数が左、大きい数が右という並びが逆転します。

解を求めたら、必ず検算が必要ですか？

必要です。解を元の式に代入して、等式なら両辺が等しいか、不等式なら範囲の内側と外側の値を1つずつ代入して確認します。符号の誤りや向きの誤りは、検算ですぐ見つかります。

損益分岐点を超えたら、必ず利益が増え続けますか？

式の上では増え続けますが、実際にはそうとは限りません。需要の上限、在庫、値引きによる売価の低下、固定費が段階的に増える、などがあります。式は、前提(売価・費用が一定、売った分だけ作れる)の範囲で使います。前提を企画書に書きます。

答えが小数のとき、切り上げと切り捨てはどう決めますか？

問いの意味で決めます。「黒字になる最小の個数」なら、基準を超える最小の整数なので、切り上げです。「予算内で買える最大の個数」なら、基準を超えない最大の整数なので、切り捨てです。どちらも元の条件に戻って検算します。

売価を下げると分岐点が急に遠くなるのはなぜですか？

貢献利益(売価−変動費)が小さくなり、分母が小さくなるからです。500円/個が300円/個に下がれば、同じ固定費を回収するのに必要な個数は約1.7倍になります。値引きの施策は、貢献利益への影響を必ず確認します。

確認問題

次に学ぶこと

次は 座標と関数の読み方 で、座標とグラフから、利益の式の傾きや切片、損益分岐点を読み取ります。式・表・グラフの3つを行き来できるようになります。

この授業の確認問題だけで習得とはしません。ON05 の総合テストと、損益分岐点の課題で判定します。式の作り方の復習は 文字式と代入 です。