変数の尺度｜記述統計と標本

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記述統計と標本（初級・読む25分＋演習30分）

この授業のゴール

• 列の値を名義・順序・間隔・比の4つの尺度に分類し、その理由を説明できる
• 尺度ごとに使ってよい要約（最頻値・中央値・平均・比）を選べる
• 0（観測した値）と欠損（観測していない）を区別し、欠損を0にした平均との差を計算できる
• コード化されたカテゴリ（1=東京、2=大阪など）に平均を使う誤りを見つけられる

仕事でどう使うか

表の列には、計算してよい列と、計算してはいけない列があります。見た目はどちらも数字なので、区別しないと意味のない平均が出ます。

「この列は数字だが、平均してよいか」と自問する習慣が、この授業の目的です。

前提

次の言葉を使います。

• 列と1行の単位、数値とカテゴリの違い、0と欠損の違い → 数値・カテゴリ・日時・欠損
• 平均・中央値の手計算 → 平均・合計・中央値を手計算
• 母集団と標本 → 母集団と標本

コードは pandas（表を扱うライブラリ）の Series（1列のデータ）を使います。np.nan は「欠損値」を表す特別な値です。

身近な状況：数字が入っているのに平均できない列

架空のネットショップの顧客アンケートの一部です。1行が顧客1人です。

新人の担当者が、すべての列の平均を計算しました。

• 都道府県コードの平均 → (13+27+40+13)÷4＝23.25。「23.25県」に意味はありません。
• 郵便番号の平均 → 約400万（3,975,002）。住所ではありません。
• 購入額の平均 → 未入力を0円として扱うか、除くかで、値が変わります。

どの列に何を計算してよいかを決めるのが、変数の尺度（measurement scale）です。

直感的な説明：「ラベル」「順位」「目盛り」「量」

数字が表すものは、大きく4種類に分けられます。

1. ラベル：区別するための名前の代わり。背番号や都道府県コード。大小に意味がなく、足し引きも意味がない。
2. 順位：順番だけに意味がある。マラソンの1位・2位・3位。1位と2位の差が、2位と3位の差と同じとは限らない。
3. 目盛り：差に意味がある。気温。20℃と10℃の差は10℃で、15℃と5℃の差と同じ。ただし0℃は「熱がない」のではなく、決めた基準点にすぎない。
4. 量：0が「何もない」を表し、割り算（倍率）に意味がある。購入額、身長、待ち時間。

この4つが名義・順序・間隔・比です。上から下へ、使える計算が増えていきます。

見分けのコツ：「2倍と言って意味が通るか」「差を取って意味が通るか」「大小を比べて意味が通るか」の順に聞きます。最初の問いに「はい」なら比、2つ目なら間隔、3つ目なら順序、どれも「いいえ」なら名義です。

正確な定義：4つの尺度と使える要約

尺度ごとの定義と、使ってよい要約をまとめます。

ほかに、値の取り方による別の分け方もあります。

• 離散：数えられる整数（注文件数）。連続：小数も取れる量（待ち時間）。
• 二値：0か1（購入した／しない）。平均すると「1の割合」になるので、割合の計算に使えます。

注意する点が3つあります。

• 名義の数字は計算しない。 コード13と27の和や平均に意味はありません。
• 「20℃は10℃の2倍暖かい」は誤り。 温度の0℃は任意の基準なので、倍率に意味がありません。絶対温度で表すと 10℃＝283.15K、20℃＝293.15K で、比は 293.15÷283.15≒1.035倍です。
• 順序尺度の平均は、段階の幅が等しいという仮定の上で使う。 実務では満足度の平均が使われますが、「5と3の差が3と1の差と同じ」という仮定を含みます。分布（各段階の人数）も必ず併記します。

用語：「間隔尺度か比尺度か」の見分けは、「値が0のとき、その量が本当にないか」です。購入額0円は購入がない。気温0℃は寒さがないわけではない。

段階付き例題：満足度10人の要約を尺度に合わせて作る

問題：10人の満足度（1＝非常に不満〜5＝非常に満足）が 5, 4, 4, 3, 5, 2, 4, 4, 1, 3 でした。尺度に合った要約をつくります。

ステップ1：尺度を決める。 段階に順序はあるが、「4と5の差」と「1と2の差」が同じとは限りません。順序尺度です。

ステップ2：並べ替える。 小さい順に 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5。

ステップ3：順序尺度で使える要約を出す。

• 各段階の人数：1が1人、2が1人、3が2人、4が4人、5が2人。
• 最頻値：最も多いのは4（4人）。
• 中央値：10人なので5番目と6番目の平均。どちらも4なので 4。
• 「4以上」と答えた人の割合：(4+2)÷10＝60%。

ステップ4：平均を使う場合は条件を書く。 合計 35 を10で割ると 3.5 です。ただし「段階の幅が等しい」と仮定した場合の参考値です。上の人数分布を並べて示します。

ステップ5：同じ平均でも分布は違う。 次のコードで、平均3.0の2つのグループを比べます。value_counts() は値ごとの件数を数え、sort_index() は値の小さい順に並べる関数です。

import pandas as pd

a = pd.Series([3] * 10)                  # 全員が「ふつう」
b = pd.Series([1] * 5 + [5] * 5)         # 極端に二分

print("平均 a:", a.mean(), " b:", b.mean())
print("中央値 a:", a.median(), " b:", b.median())
print(a.value_counts().sort_index().to_dict())
print(b.value_counts().sort_index().to_dict())

出力は「平均 a: 3.0 b: 3.0」「中央値 a: 3.0 b: 3.0」、そして {3: 10} と {1: 5, 5: 5} です。平均も中央値も同じ3でも、人々の状態はまるで違います。 順序データでは分布を出すのが基本です。

操作して理解する：0と欠損、コード化カテゴリ

0と欠損を取り違えたときの影響を、コードで確かめます。7人に「今週の運動時間（時間）」を聞いたところ、2人が無回答でした。

import numpy as np
import pandas as pd

hours = pd.Series([3, 0, np.nan, 5, np.nan, 0, 4])   # float型。np.nan が欠損

print("人数:", len(hours))
print("回答数(count):", hours.count())
print("欠損数:", hours.isna().sum())
print("0時間の人:", (hours == 0).sum())
print("平均(欠損は除く):", round(hours.mean(), 3))
print("平均(欠損を0にした):", round(hours.fillna(0).mean(), 3))

出力は、人数7、回答数5、欠損数2、0時間の人2、平均（欠損を除く）2.4、平均（欠損を0にした）1.714 です。

• hours.count() は欠損でない件数、hours.isna() は欠損の位置を True にするメソッドです。
• 2.4 は 12÷5（回答した5人の合計12時間）、1.714 は 12÷7 です。分母が5か7かで、答えが約0.7時間ずれます。
• 「0時間」は「運動していない」という観測された値、「欠損」は「聞けていない」です。欠損を0にすると、運動していない人が実際より多いことにしてしまいます。

次にコード化されたカテゴリです。

import pandas as pd

pref = pd.Series([13, 27, 40, 13])          # 13=東京, 27=大阪, 40=福岡
print("平均(意味なし):", pref.mean())
print("件数:", pref.value_counts().to_dict())

平均は 23.25 になりますが、件数を数える value_counts() の結果 {13: 2, 27: 1, 40: 1} のほうが意味を持ちます。

自分で試す問いです。(1) hours の最後の値4を np.nan に変えると、平均はいくつになりますか（答え：8÷4＝2.0）。(2) 欠損でなく「該当なし」と答えた人は、0として扱うべきでしょうか。設問の意味で決まります。決めた理由を記録に残してください。

発展：尺度分類の限界と、実務での扱い

この4分類は便利ですが、完璧ではありません。

• 周期的な値：時刻や角度は、23時と1時の平均を単純に取ると12時になってしまいます。周期を考えた扱い（円環統計）が必要です。
• 比率・割合の列：購入率のような割合は比尺度に見えますが、分母が違う行を単純平均してはいけません（層別と集計の罠）。
• 対数で見る量：売上や人口のように桁がまたがる量は、対数を取ると差が倍率を表すので扱いやすくなります。
• 順序尺度の平均：満足度の平均は広く使われますが、段階の幅が等しい保証はありません。厳密には、順序ロジスティック回帰や、各段階の割合の比較を使います。

機械学習の前処理では、名義はワンホット（カテゴリごとに0/1の列に展開）、順序は順序符号化、数値は必要に応じて標準化、というように尺度に応じて変換を選びます（特徴量・前処理・表データ（有料版））。ただし、木に基づくモデルは数値の大小だけを使うため、名義を整数コードに変えても動いてしまいます。動くことと、意味があることは別です。

よくある失敗

失敗1：コード化したカテゴリを平均する

誤った例：都道府県コード 13, 27, 40, 13 の平均を取って「平均23.25」と報告する。

import pandas as pd
pref = pd.Series([13, 27, 40, 13])
print(pref.mean())              # 23.25 ← 意味のない数
print(pref.value_counts().to_dict())   # 件数なら意味がある

誤りの理由：コードは区別のためのラベルで、コード間の差や平均に意味がありません。ライブラリは数値なら黙って計算するため、気づきにくいミスです。

直し方：名義の列はカテゴリ型（astype('category')）にするか、件数・割合で要約する。モデルに入れるときはワンホットにする。

失敗2：順序尺度の平均だけを報告する

誤った例：A店とB店の満足度の平均がどちらも3.0なので「同じ満足度」と報告する。

先ほどの例で、A店は全員が3、B店は1と5が半々でした。平均も中央値も3.0で同じですが、B店には強い不満を持つ人が半数います。

誤りの理由：平均は分布を1つの数に潰します。順序尺度では、特に各段階の人数が重要です。

直し方：各段階の人数（割合）を並べ、「4以上の割合」「2以下の割合」を併記する。平均を示すなら「段階の幅が等しいと仮定した参考値」と書く。

失敗3：欠損を0にして平均する

誤った例：運動時間7人のうち2人が無回答。欠損を0にして平均1.714時間と報告する。

import numpy as np
import pandas as pd
hours = pd.Series([3, 0, np.nan, 5, np.nan, 0, 4])
print(hours.fillna(0).mean())   # 1.714... 誤り
print(hours.mean())             # 2.4 回答者の平均

誤りの理由：無回答の2人の運動時間はわかりません。0と決めると、データにない情報を勝手に足したことになります。

直し方：「回答者5人の平均2.4時間（無回答2人）」と分母と欠損件数を明記する。無回答の理由を調べ、補完するなら方法を書く。0にしてよいのは「該当なし＝0」と設問で定義した場合だけです。

まとめ

• 尺度は名義・順序・間隔・比の4つ。見分けは『大小に意味があるか』『差に意味があるか』『倍率に意味があるか』。
• 名義には件数・割合・最頻値、順序には中央値と分布、間隔・比には平均を使う。
• コード化したカテゴリ（都道府県コードなど）は数字でも平均しない。
• 0は観測した値、欠損は観測していない。欠損を0にすると分母と平均が変わる。
• 順序尺度の平均は参考値。各段階の割合を併記する。

用語

名義尺度（nominal scale）

区別するだけの尺度。都道府県や支払方法。大小や差に意味がない。

順序尺度（ordinal scale）

順序に意味があるが、差の大きさは不定な尺度。満足度の段階など。

間隔尺度（interval scale）

差に意味があるが、0が任意の基準で倍率に意味がない尺度。気温（℃）など。

比尺度（ratio scale）

0が『ない』を表し、倍率に意味がある尺度。購入額や時間など。

欠損（missing value）

値が観測されていない状態。0とは別。pandasでは NaN で表す。

よくある質問

なぜ尺度を分けるのですか。全部数字として扱ってはいけないのですか。

計算できることと、意味があることは別だからです。ライブラリは数値なら黙って平均を出します。尺度を決めると、その列に使ってよい要約と、避けるべき計算がはっきりします。

満足度の平均は使ってはいけませんか。

使ってもよいが、条件付きです。「段階の幅が等しいと仮定した参考値」と明記し、分布や『4以上の割合』を併記します。厳密な比較では、段階の割合の比較や順序ロジスティック回帰を使います。

顧客IDのような数字は、モデルに入れてよいですか。

通常は入れません。IDは区別のためのラベルなので、大きさに意味がありません。ID順が登録順なら登録時期の代わりになりますが、意図せず情報漏洩（データリーク）になることもあります。使う場合は、意味を確認した別の特徴量にします。

0と欠損は、実際のデータでどう見分けますか。

データ定義書で『未入力はNULL』『該当なしは0』のように決めてあるかを確認します。ない場合は、0の割合が不自然に多くないか、欠損の位置に規則（古いデータだけ空など）がないかを調べ、作成者に確認します。

年齢は比尺度ですか。

年齢は0歳が『生まれていない』ではなく『生後1年未満』を表すので、厳密には満年齢の定義に依存します。実務では年数の差と倍率を使えるので比尺度として扱うことが多いですが、年齢を『20代』のように区切ると順序尺度になります。

尺度が変わると、必ず別の手法になりますか。

目安として、名義は件数・割合・カイ二乗検定、順序は中央値・順位に基づく手法、間隔・比は平均や回帰、と対応します。ただし例外もあるので、目的と前提をレポートに書いて選びます。

確認問題

次に学ぶこと

次は 分布とヒストグラム で、1つの列の値の分布をヒストグラムで見ます。尺度が数値（間隔・比）の列が対象です。戻るなら 数値・カテゴリ・日時・欠損 で列の型を確認します。

この授業の確認問題だけで習得とはしません。ST01 の総合テストと別データの自力課題で判定します。欠損の扱いは 欠損・重複・異常・品質検証（有料版） でさらに詳しく学べます。