母集団と標本｜記述統計と標本

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記述統計と標本（初級・読む25分＋演習30分）

この授業のゴール

• 「知りたい対象全体（母集団）」と「実際に観測できた一部（標本）」を、具体的な調査で言い分けられる
• 母数と統計量、抽出率と回収率を区別し、与えられた件数から計算できる
• 標本の偏り（選択の偏り・無回答の偏り）を見つけ、結果がどの母集団に当てはまるかを限定して述べられる
• 標本平均が抽出のたびに変わることを、全組み合わせの計算で確かめられる

仕事でどう使うか

データ分析の結果は、ほとんどの場合「手元の一部」から「全体」を語ることになります。手元の数字がきれいでも、その一部が全体を代表していなければ、結論は外れます。

実務では「この数字は誰の数字ですか」と聞かれます。この授業は、その問いに答える言葉をそろえます。

前提

次の言葉を使います。不安があれば先に戻ってください。

• 1行の単位（その表の1行が何を表すか）→ 行と列と1行の単位
• 割合と分母（何を何で割った率か）→ 比率・割合・パーセントポイント
• 平均・合計・中央値の手計算 → 平均・合計・中央値を手計算

この授業のコードは画面内で実行できます。実行 ボタンを押すとその場で結果が出ます。

身近な状況：満足度アンケートの「80%」は誰の数字？

架空のネットショップ「みどり堂」には、会員が10,000人います。担当者は「会員の満足度」を知りたくなり、アプリのお知らせでアンケートを配りました。結果は次のとおりです。

担当者は 320 ÷ 400 ＝ 80%の会員が満足 と報告しました。この報告には問題があります。

• 回答したのは400人で、会員全体の4%（400 ÷ 10,000）です。
• お知らせを見たのは、アプリをよく使う人です。アプリを使わない会員は、そもそも調査の対象に入っていません。
• 回答した人は、満足している人か、強く不満な人かもしれません。無回答の1,600人の気持ちは、まだわかりません。

「80%」が正しく言えるのは、「アプリのお知らせに気づいて回答した人」の中での割合までです。「会員の80%」とは言えません。この授業では、その言い分けの理由と、確かめ方を学びます。

直感的な説明：鍋のスープの味見

鍋のスープの味を確かめるとき、全部飲む人はいません。よくかき混ぜてから、小さじ1杯を味見します。

• 鍋全体のスープが母集団（知りたい対象全体）です。
• 味見した1杯が標本（実際に観測した一部）です。
• よくかき混ぜることが無作為に選ぶことに当たります。かき混ぜずに表面だけすくうと、具が少なくて塩辛い部分ばかり飲むかもしれません。これが偏った標本です。

もう一つ大切なことがあります。小さじで2回味見すると、2回の味は少し違います。標本は選ぶたびに変わり、そこから計算した値も変わります。 これを「標本のばらつき」と呼びます。味見の回数（標本の大きさ）を増やすと、全体の味に近づきやすくなります。ただし、かき混ぜていない鍋なら、何杯飲んでも同じ偏りが残ります。

たとえ話の限界：スープは混ぜれば均一になりますが、会員や市場は混ざりません。誰が調査に入りやすいかには必ず癖があります。そのため、実務では「どう選んだか」を記録することが重要になります。

正確な定義：母集団・標本・母数・統計量

まず用語を表で確定します。

標本平均の式を、記号の意味を確かめてから書きます。$x_i$ は標本の $i$ 番目の観測値（たとえば購入額、単位は千円）、$n$ は標本サイズ（人数）です。

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

たとえば 3人の購入額が 1千円、2千円、9千円なら、$\bar{x}=(1+2+9)\div 3=4$ 千円です。単位は元のデータと同じ「千円」です。

次の3つの比率は、分母が違うので混同しないでください。

無作為抽出（単純無作為抽出）とは、母集団のどの要素も同じ確率で選ばれ、選ばれ方が互いに独立に近い方法です。これなら標本平均の平均が母平均に一致します（次の節で確認します）。「手元にあるから集めた」「回答してくれた人だけ」は無作為ではありません。このように集めやすさで選ぶ方法を便宜標本と呼びます。

注意：標本が大きくても、集め方に偏りがあれば母集団を表しません。件数は代表性の保証ではありません。

段階付き例題：10人の母集団から3人を選ぶ全120通り

架空の小さな母集団で、母平均が既知の状況を作ります。10人の1か月の購入額（千円）が次のとおりです。

ステップ1：母平均を求める。 合計は 0+0+0+1+2+2+3+4+8+20＝40 千円、人数は10人なので $\mu=40\div10=4$ 千円です。

ステップ2：3人を選ぶ全部の組み合わせを数える。 10人から3人を選ぶ方法は 10×9×8÷(3×2×1)＝120通りです。

ステップ3：120通りそれぞれの標本平均を計算する。 人手では大変なので、コードで行います。combinations(pop, 3) は、リスト pop から3個を選ぶ全組み合わせを順に返す標準ライブラリの関数です。means は標本平均を並べたリスト（要素は float）です。

from itertools import combinations

pop = [0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 8, 20]          # 母集団（千円）
means = [sum(c) / 3 for c in combinations(pop, 3)]  # 全120通りの標本平均

print("組み合わせ数:", len(means))
print("標本平均の平均:", sum(means) / len(means))
print("最小:", min(means), " 最大:", round(max(means), 2))

出力は「組み合わせ数: 120」「標本平均の平均: 4.0」「最小: 0.0 最大: 10.67」です。

ステップ4：結果を読む。

• 標本平均の平均は 4.0 で、母平均 $\mu=4$ と一致します。無作為に選ぶ限り、平均すれば偏りがないという意味です。
• ただし1回の標本平均は 0 から 10.67 までばらつきます。たまたま「0, 0, 0」を選べば平均0、「4, 8, 20」を選べば平均10.67です。
• 母平均4に近い（3〜5）標本平均になるのは120通り中27通り（約23%）にすぎません。1回の結果を「真の値」と読んではいけません。

この「1回ごとに変わる」性質を、推定の誤差として扱うのが 標本分布・推定・信頼区間（有料版） です。

操作して理解する：偏った選び方で何が起きるか

次に、購入額が0より大きい人だけから選ぶ場合を試します。アプリのお知らせは「ふだん買い物をする人」に届きやすい、という状況を想像してください。

from itertools import combinations

pop = [0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 8, 20]
buyers = [x for x in pop if x > 0]             # 抽出枠が「購入者のみ」
means = [sum(c) / 3 for c in combinations(buyers, 3)]

print("抽出枠の人数:", len(buyers))
print("組み合わせ数:", len(means))
print("標本平均の平均:", round(sum(means) / len(means), 3))
print("母平均:", sum(pop) / len(pop))

出力は「抽出枠の人数: 7」「組み合わせ数: 35」「標本平均の平均: 5.714」「母平均: 4.0」です。

• 7人の中からは公平に選んでいます。それでも標本平均の平均は 5.714 で、母平均 4 より約 1.7 千円高くなります。
• 原因は選び方ではなく、抽出枠が母集団と違う（購入額0の3人が枠から除かれている）ことです。これをカバレッジの偏りと呼びます。
• 何度繰り返しても、平均すると5.714のままです。標本を増やしても直りません。

試してみましょう。

1. x > 0 を x > 1 に変えると、結果はどう動くでしょう。枠から除く人が増えるので、平均はさらに上がります。
2. 選ぶ人数を3から2に変えるときは、/ 3 と combinations(...,3) の両方を変えます。片方だけ変えると計算が誤ります。
3. 実際の調査では母平均は未知です。だからこそ、抽出枠が誰を含み誰を除くかを調査の前に書き出します。

発展：標本誤差と非標本誤差、抽出法の種類

誤差は2種類に分けて考えます。

実務で問題になるのは多くが非標本誤差です。

抽出法には次のような種類があります。

• 単純無作為抽出：全員を同じ確率で選ぶ。
• 層化抽出：母集団を層（例：新規客と既存客）に分け、各層から選ぶ。層ごとの結果が欲しいときや、まれな層を確保したいときに使う。
• 集落抽出：店舗や学校など集団ごと選び、選ばれた集団の全員を調べる。調査費用を抑えられるが、集団内が似ていると精度が下がる。
• 便宜標本・自己選択標本：集めやすい人、回答したい人だけ。結論を母集団に広げる根拠が弱い。

層化抽出で各層の抽出率が違うときは、層の大きさに合わせて重みを付けて集計します（層別と集計の罠 の加重平均につながります）。また、無回答が多いときは、回答者と非回答者の属性（年齢・利用頻度など）を既知の名簿で比べ、ずれの大きさを確認します。ずれが大きいなら、結果は「回答者についての記述」にとどめるのが安全です。

よくある失敗

失敗1：回答者の割合を「会員全体の割合」と書く

誤った報告：「会員の80%が満足」（320 ÷ 400）。

誤りの理由：分母が回答者400人で、会員10,000人ではありません。無回答者1,600人（お知らせを見た2,000人−回答400人）や、お知らせを見ていない8,000人の気持ちは不明です。

確かめ方として、最悪と最良の場合を計算します。お知らせを見た2,000人全体を分母にすると、無回答の1,600人が全員不満なら 320 ÷ 2,000 ＝ 16%、全員満足なら (320+1,600) ÷ 2,000 ＝ 96% です。16%から96%までのどれでもあり得るのが事実です。

直し方：「アプリのお知らせに回答した400人のうち80%が満足。回収率は20%で、無回答の傾向は不明」と書く。

失敗2：標本が大きいから代表性がある、と考える

誤った考え：「100万件のSNS投稿を集めたので、国民全体の意見だ」。

誤りの理由：投稿する人は、SNSを使い、書き込む人に限られます。件数が多くても、母集団（国民全体）のうち一部の人しか含まれない偏りは消えません。前の節で、枠が購入者だけのとき、何度繰り返しても5.714のままで母平均4に近づかなかったことと同じ構造です。

直し方：「誰が含まれ、誰が含まれないか」を先に書き、結論の範囲を「SNSで投稿する人」に限定する。件数を増やす前に、集め方を点検する。

失敗3：1回の標本平均を母平均として扱う

誤った例：3人を選んだら購入額が 0, 0, 1 千円で、標本平均は約0.33千円。「会員の平均購入額は0.33千円」と報告する。

誤りの理由：例題で見たとおり、標本平均は0から10.67まで動きます。0.33千円は120通りのうちの1つの結果で、母平均4とは大きく違います。小さい標本ほど、この揺れは大きくなります。

直し方：標本サイズ $n$ を必ず併記し、「標本では約0.33千円。ただし $n=3$ では大きく変動する」と書く。母平均を推定するときは、誤差の大きさ（標準誤差・信頼区間）を添える（標本分布・推定・信頼区間（有料版）で学びます）。

まとめ

• 母集団は結論を当てはめたい全体、標本は実際に観測できた一部。母数は母集団の値、統計量は標本から計算した値で、標本ごとに変わる。
• 抽出率（n÷N）、回収率（回答÷配布）、満足率（満足÷回答）は分母が違う。必ず分母を書く。
• 無作為に選べば標本平均の平均は母平均に一致するが、1回の標本平均は大きくばらつく。
• 抽出枠のずれや無回答による偏りは、標本を増やしても消えない。結論の範囲を限定して書く。
• 報告には、母集団・抽出方法・標本サイズ・回収率（欠損件数）を添える。

用語

母集団（population）

結論を当てはめたい対象全体。誰の・いつの・どの条件かまで具体的に定める。

標本（sample）

母集団から実際に観測できた一部。大きさを標本サイズ n で表す。

母数（parameter）

母集団について決まる値（母平均 μ など）。通常は未知。

統計量（statistic）

標本から計算した値（標本平均 x̄ など）。標本ごとに変わる。

標本抽出枠（sampling frame）

標本を選ぶ元になる名簿。母集団と一致しないと偏りの原因になる。

便宜標本（convenience sample）

集めやすさで選んだ標本。無作為でなく、一般化の根拠が弱い。

よくある質問

母集団はいつも「全員」ですか？

いいえ。母集団は分析の目的で決まります。「みどり堂の2025年の購入経験がある会員」のように、誰が・いつ・どの条件かまで書いて初めて確定します。条件が曖昧なままだと、標本が代表かどうかを判断できません。

全数調査ができるなら、標本は必要ないのでは？

全数を集められるなら標本は不要で、母数そのものを計算できます。ただし、全数でも欠損や入力ミスがあり、将来の顧客のような「まだ存在しない母集団」について語るときは、手元の全データも標本とみなします。

標本の大きさ（n）が大きければ偏りは消えますか？

ランダムな標本誤差は小さくなりますが、抽出枠のずれや無回答の偏りは消えません。例題の購入者のみの枠は、何度繰り返しても5.714で、母平均4に近づきませんでした。

無作為抽出と、無作為割付は同じですか？

別の概念です。無作為抽出は母集団から標本を選ぶ方法で、結果を母集団に一般化するために使います。無作為割付は、集めた対象を処置群と対照群に分ける方法で、因果を調べるために使います（実験計画・標本抽出（有料版）で扱います）。

母集団が不明なデータ（社内のログなど）は、どう扱えばよいですか？

そのデータが「誰の・いつの・どの条件の記録か」を書き、結論はそこに限定します。たとえばアプリのログは、アプリを使う顧客の記録です。店舗でしか買わない顧客の行動は、そのログには入っていません。

実務で、標本の偏りをどう点検しますか？

(1) 母集団の定義、(2) 抽出枠の範囲、(3) 配布数・回答数・欠損数、(4) 既知の名簿との属性比較（年齢・地域・利用頻度）の4点を書き出します。ずれが大きければ、結論の範囲を狭めるか、重み付けを検討します。

確認問題

次に学ぶこと

次は 変数の尺度 で、データの列ごとに「どんな種類の値か（尺度）」を見分けます。欠損と0の区別もそこで扱います。戻るなら、分母と割合は 比率・割合・パーセントポイント です。

この授業の確認問題だけで習得とはしません。ST01 の総合テストと、別データの自力課題で判定します。推定の誤差は 標本分布・推定・信頼区間（有料版） で、標本抽出と実験計画は 実験計画・標本抽出（有料版） で続きます。