検定と回帰｜統計検定2級の体系とオリジナル演習

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統計検定2級の体系とオリジナル演習（中級・読む35分＋演習35分）

この授業のゴール

• 検定の手順（仮説・片側／両側・検定統計量・分布と自由度・判定・結論の書き方）を、1標本t検定と比率の検定で実行できる
• カイ二乗検定（適合度・独立性）の期待度数・統計量・自由度を手計算できる
• 要約統計量から単回帰の傾き・切片・決定係数を求め、回帰の出力表（係数・標準誤差・t値・p値）を読める
• p値・「棄却されない」・決定係数・回帰係数について、誤った解釈を見抜ける

仕事でどう使うか

検定と回帰は、統計検定2級の範囲の「仮説検定」「カイ二乗検定」「線形モデル」にあたり（対象範囲と項目対応）、実務の報告書に最もよく出てくる統計量です。

内蔵授業の 仮説検定・効果量・多重比較（有料版）（検定）と 回帰・分散分析・モデル仮定（有料版）（回帰・分散分析）の内容を、手計算できる試験形式の問題に整理します。内蔵授業で主題になっていないカイ二乗検定（適合度・独立性）は、この授業で手順と演習を補います。問題はすべてオリジナルです。

確認日と出典：この授業の試験情報は、2026年10月（10月11日）に統計検定の公式サイトで確認した内容です。
- 統計検定2級のページ：https://www.toukei-kentei.jp/grade/grade2/
- 試験概要のページ：https://www.toukei-kentei.jp/about/summary
- 統計検定2級 出題範囲表（PDF）：https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf
- 出題範囲表の改訂のお知らせ：https://www.toukei-kentei.jp/news/post-8545

試験の方式・範囲・合格水準は変わることがあります。受験前に必ず公式サイトの最新情報で確認してください。

前提

次の内容を前提にします。

• 帰無仮説と対立仮説 → 「帰無と対立仮説」（有料版）、p値と有意水準 → 「p値と有意水準」（有料版）、2種類の過誤 → 「第1種・第2種過誤」（有料版）、検出力 → 「検出力と効果量」（有料版）
• 信頼区間 → 推定と区間、「点推定と信頼区間」（有料版）
• t分布・カイ二乗分布・F分布 → 「正規・指数・t・カイ二乗・F」（有料版）、相関 → 「共分散と相関」（有料版）
• 単回帰 → 「単回帰と最小二乗」（有料版）、重回帰 → 「重回帰と係数解釈」（有料版）、残差 → 「残差と仮定」（有料版）、分散分析 → 「分散分析と比較」（有料版）
• クロス集計 → 層別と集計の罠

記号：$H_0$ は帰無仮説、$H_1$ は対立仮説、$\alpha$ は有意水準、$O$ は観測度数、$E$ は期待度数、$r$ は相関係数、$s_x, s_y$ は標準偏差です。

身近な状況：同じデータで「有意」と「有意でない」が分かれた

ある工場で、新しい充填機の内容量（目標500g）を16個測ったところ、平均506g、標本標準偏差12gでした。2人の担当者の結論が分かれました。

計算は2人とも同じで、検定統計量は $t=(506-500)/(12/\sqrt{16})=6/3=2.0$ です。違いはどちら向きの違いを調べるかでした。両側5%の棄却の境目は $t_{0.025}(15)=2.131$、片側5%は $t_{0.05}(15)=1.753$ なので、2.0はちょうどその間にあります。

どちらが正しいかは、データを見る前に何を知りたかったかで決まります。「多すぎても少なすぎても問題」なら両側、「多すぎることだけが問題で、それを示したい」と事前に決めていたなら片側です。データを見てから有意になるほうを選ぶのは、誤りの確率を実質的に増やす不正な手順です。

試験でも、問題文の「異なるか」「大きいか」「少なくとも〜か」といった言葉から片側・両側を読み取る問題がよく問われます。この授業では、検定と回帰の問題を手順の各段階で何を読むかとして整理します。

直感的な説明：検定は「偶然でこれほどずれるか」、回帰は「平均の通り道」

検定は、「差がない（帰無仮説）」と仮定したとき、観測された程度のずれが偶然で起こる確率を計算する手続きです。その確率（p値）が小さければ「偶然だけでは説明しにくい」と判断し、帰無仮説を棄却します。p値が大きいときは「差がない」と証明できたのではなく、「差があると言える根拠が足りない」だけです。

カイ二乗検定は、表の各マスについて「仮説どおりなら何人いるはずか（期待度数）」と「実際に何人いたか（観測度数）」を比べ、ずれの2乗を期待度数で割って合計します。ずれが大きいほど統計量が大きくなります。

回帰は、散布図に「x が1増えると y は平均してどれだけ動くか」を表す直線を引くことです。傾きは相関係数に「y のばらつき÷x のばらつき」を掛けたものなので、相関が同じでも単位が変われば傾きは変わります。決定係数 $R^2$ は「y のばらつきのうち直線で説明できる割合」です。

注意：回帰の傾きは「x が1違う人どうしで y が平均どれだけ違うか」という関連の大きさで、x を1増やしたら y が増えるという因果を意味しません（「介入と観察」（有料版））。

正確な定義：検定の手順・カイ二乗検定・回帰の式

1. 検定の手順

比率の検定では、標準誤差に帰無仮説の値 $p_0$ を使う点が、区間推定（$\hat{p}$ を使う）と違います。

2. カイ二乗検定

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

• 適合度検定：k 個のカテゴリの観測度数が、仮説の比率に合うか。期待度数は（総数×仮説の比率）、自由度は $k-1$（比率のパラメータを推定した場合はさらにその数だけ減らす）。
• 独立性の検定：r 行 c 列のクロス集計表で、2つの変数が独立か。期待度数は $E=(\text{行の合計}\times\text{列の合計})/\text{総数}$、自由度は $(r-1)(c-1)$。
• 期待度数が小さい（目安として5未満のマスが多い）と近似が悪くなります。2×2表では連続修正（イェーツの補正）を使う流儀もあり、統計ソフトでは既定で補正がかかることがあります。どちらの方法かを確認します。

3. 単回帰（$y=a+bx$）：最小二乗法による推定は

$$\hat{b}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=r\,\frac{s_y}{s_x},\qquad \hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\,\bar{x},\qquad R^2=r^2$$

$S_{xy}=\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ は偏差積和です。$R^2=r^2$ は単回帰のときに成り立ちます。残差は $e_i=y_i-\hat{y}_i$（観測値−予測値）です。

4. 回帰の出力表：係数の t値は「係数÷標準誤差」で、自由度 $n-p-1$（p は説明変数の数）のt分布で p値を求めます。重回帰の係数は「他の説明変数を一定にしたときの、その変数1単位あたりの平均的な差」です。ダミー変数（0/1の変数）の係数は、基準カテゴリとの差です。説明変数どうしの相関が強い多重共線性があると、係数の標準誤差が大きくなり、符号が不安定になります。

5. 一元配置分散分析：k 群・全体 N 個で、群間平方和 $S_B$、群内平方和 $S_W$ から

$$F=\frac{S_B/(k-1)}{S_W/(N-k)}$$

を、自由度 $(k-1, N-k)$ のF分布と比べます（「分散分析と比較」（有料版））。

段階付き例題：t検定・比率の検定・カイ二乗・回帰・分散分析

例題1（1標本t検定）：冒頭の充填機。$H_0:\mu=500$、$H_1:\mu\neq500$、$\alpha=0.05$。$t=2.0$、自由度15、棄却域は $|t|>2.131$。2.0は棄却域に入らないので「有意水準5%で、平均が500gと異なるとは言えない」。両側p値は約0.064です。

例題2（比率の検定）：新しい画面で400人中220人が購入（$\hat{p}=0.55$）。従来の購入率は0.5で、$H_0:p=0.5$、$H_1:p\neq0.5$。
- 標準誤差（$p_0$ を使う）：$\sqrt{0.5\times0.5/400}=0.025$
- $z=(0.55-0.5)/0.025=2.0$。両側の境目1.96を超えるので棄却。両側p値は約0.046。

例題3（独立性の検定）：2つの店舗で購入の有無を調べた。

• 期待度数：購入ありは各店 $100\times80/200=40$、購入なしは各店60。
• $\chi^2=\frac{(30-40)^2}{40}+\frac{(70-60)^2}{60}+\frac{(50-40)^2}{40}+\frac{(50-60)^2}{60}=2.5+1.667+2.5+1.667\approx8.33$
• 自由度 $(2-1)(2-1)=1$、5%の境目3.841。8.33>3.841なので「店舗と購入の有無は独立でない（関連がある）」と判断します。

例題4（適合度検定）：さいころを60回振ったら、1〜6の目が 5, 8, 9, 12, 10, 16 回。偏りのないさいころなら期待度数は各10。$\chi^2=(25+4+1+4+0+36)/10=7.0$、自由度 $6-1=5$、5%の境目11.07。7.0<11.07なので「偏りがあるとは言えない」。

例題5（単回帰）：広告費 x（万円）と売上 y（万円）で、$\bar{x}=10$、$\bar{y}=50$、$s_x=2$、$s_y=8$、$r=0.6$。
- 傾き $\hat{b}=0.6\times8/2=2.4$（広告費が1万円多い月は、売上が平均2.4万円多い）
- 切片 $\hat{a}=50-2.4\times10=26$
- $R^2=0.36$（売上のばらつきの36%を直線で説明）。出力表で傾きの標準誤差が0.8なら、t値は $2.4/0.8=3.0$ です。

例題6（分散分析）：3つの陳列方法（k=3）、各10店（N=30）。$S_B=60$、$S_W=270$ なら、$F=(60/2)/(270/27)=30/10=3.0$。自由度 (2, 27) の5%の境目は約3.354なので、5%水準では有意ではありません。

操作して理解する：統計ソフトの出力と手計算を照合する

次のコードは、例題の値を scipy で計算します。stats.chi2_contingency(表, correction=False) は独立性の検定を行い、統計量・p値・自由度・期待度数を返します（correction=True が既定で、2×2表では連続修正がかかるため、手計算と合わせるには False にします）。stats.chisquare(観測度数) は等確率への適合度検定です。

import numpy as np
from scipy import stats

# 例題3 独立性の検定
chi2, p, dof, exp = stats.chi2_contingency([[30, 70], [50, 50]], correction=False)
print("独立性: chi2 =", round(chi2, 3), " p =", round(p, 4), " 自由度 =", dof)
print("期待度数:\n", exp)
chi2_c, p_c, _, _ = stats.chi2_contingency([[30, 70], [50, 50]])   # 既定は連続修正あり
print("連続修正あり: chi2 =", round(chi2_c, 3), " p =", round(p_c, 4))

# 例題4 適合度検定
res = stats.chisquare([5, 8, 9, 12, 10, 16])
print("適合度: chi2 =", res.statistic, " p =", round(res.pvalue, 3))

# 例題1 t検定の p値（両側と片側）
t = (506 - 500) / (12 / np.sqrt(16))
print("t =", t, " 両側p =", round(2 * stats.t.sf(t, 15), 4), " 片側p =", round(stats.t.sf(t, 15), 4))

# 例題5 要約統計量から回帰
r, sx, sy, xbar, ybar = 0.6, 2, 8, 10, 50
b = r * sy / sx; a = ybar - b * xbar
print("傾き", b, " 切片", a, " R2", r**2)

出力：独立性は chi2=8.333、p≈0.0039、自由度1、期待度数は [[40, 60], [40, 60]]。連続修正ありでは統計量が小さくなります（7.5前後）。適合度は chi2=7.0、p≈0.221。t=2.0 の両側p≈0.0639、片側p≈0.032。回帰は傾き2.4、切片26.0、$R^2$=0.36。

考える問い

1. 例題3の店舗Bを「購入あり40、なし60」に変えると、統計量はどうなるでしょう。→ 期待度数は各店35と65になり、$\chi^2\approx2.20$ で5%水準では有意でなくなります。コードの表を書き換えて確かめましょう。
2. 例題5で y の単位を「万円」から「千円」に変える（$s_y=80$、$\bar{y}=500$）と、傾きと $R^2$ は？ → 傾きは24、切片は260と10倍になりますが、$R^2$ は0.36のまま変わりません。$R^2$ と相関係数は単位に依存しません。

発展：検定と区間の対応・回帰の仮定・多重比較

検定と区間の対応：例題1の母平均の95%信頼区間は $506\pm2.131\times3=[499.6,\ 512.4]$ で、500を含みます。これは両側5%の検定で棄却されないことと対応します。区間は「どのくらいの差がありうるか」も示すので、検定の結論と一緒に報告すると情報が増えます（「検定結果の伝え方」（有料版））。

比率の差の検定：2群の比率の差を検定するときは、帰無仮説のもとで共通の比率 $\hat{p}=(x_1+x_2)/(n_1+n_2)$ を使って標準誤差を作ります。2×2表の独立性のカイ二乗検定（連続修正なし）の統計量は、この z 統計量の2乗に一致します。例題3では店舗Aの購入率0.3、Bは0.5、共通比率0.4で、$z=0.2/\sqrt{0.4\times0.6\times(1/100+1/100)}\approx2.887$、$z^2\approx8.33$ です。

回帰の仮定：係数の t検定や区間は、誤差が独立・等分散・（小標本では）正規分布であることを前提にしています。残差プロットで曲線や扇形のパターンが見えたら、仮定が崩れています（「残差と仮定」（有料版））。外れ値1つで傾きが大きく変わることもあります。

多重比較：分散分析で有意になっても、「どの群とどの群が違うか」は別の検定（多重比較の補正つき）が必要です。群のペアごとに5%の検定を繰り返すと、全体として少なくとも1つ誤って有意になる確率が5%を超えます（「多重比較と補正」（有料版））。

決定係数の限界：重回帰では説明変数を増やすと $R^2$ は下がらないので、変数の数を考慮した自由度調整済み $R^2$ も見ます。$R^2$ が低くても、係数の推定が意思決定に役立つことはありますし、高くても因果を示すわけではありません。

よくある失敗

失敗1：p値を「帰無仮説が正しい確率」と読む／棄却されない＝差がない

誤った例A：「p=0.03なので、差がない確率は3%、差がある確率は97%」と報告する。

なぜ誤りか：p値は「帰無仮説が正しいと仮定したとき、観測以上に極端な結果が出る確率」です。帰無仮説が正しい確率ではありません。

誤った例B：例題1で棄却されなかったので「充填機の平均は500gである」と結論する。

なぜ誤りか：n=16では検出力が低く、6gの差があっても見逃しうる設定です。棄却されないことは「差があるとは言えない」だけで、「差がない」の証明ではありません。区間 [499.6, 512.4] を見れば、12g程度多い可能性も残っています。

直し方：結論は「有意水準5%で〜とは言えない」と書き、信頼区間と標本サイズを併記する（「p値と有意水準」（有料版）、「検出力と効果量」（有料版））。

失敗2：カイ二乗検定の自由度や期待度数を誤る

誤った例：3行4列のクロス集計表の独立性の検定で、自由度を $3\times4-1=11$ とする。または、期待度数を「総数÷マスの数」で全マス同じ値にする。

正しくは自由度 $(3-1)(4-1)=$ 6。5%の境目は自由度11なら約19.68、自由度6なら約12.59と大きく違うので、自由度を誤ると判定が逆になりえます。期待度数は各マスで $(\text{行の合計}\times\text{列の合計})/\text{総数}$ で、行や列の合計が違えばマスごとに値が違います。

直し方：自由度は「(行−1)×(列−1)」、適合度なら「カテゴリ数−1」と、検定の種類とセットで書く。期待度数の合計が観測度数の合計と一致するかで検算する。

失敗3：傾き＝相関係数とする／回帰係数を因果と読む

誤った例A：例題5で「相関が0.6なので、広告費が1万円増えると売上は0.6万円増える」とする。

正しくは傾き $=r\times s_y/s_x=0.6\times8/2=2.4$。傾きと相関係数が一致するのは $s_x=s_y$ のときだけです。

誤った例B：「傾き2.4なので、広告費を1万円増やせば売上が2.4万円増える」と予算増額を提案する。

なぜ誤りか：観察データの回帰は関連の大きさで、繁忙期ほど広告も売上も多い（季節という交絡因子）といった理由で傾きが生じることがあります。因果効果を主張するには、無作為化実験や交絡の調整が必要です（「DAGと交絡」（有料版））。

直し方：傾きは「x が1違うとき y が平均どれだけ違うか」と書く。施策の効果を述べるときは、データの取り方（実験か観察か）を必ず確認する。

まとめ

• 検定は「仮説・片側/両側（事前に決める）・統計量・分布と自由度・判定・結論」の順に書く。比率の検定の標準誤差には $p_0$ を使う。
• p値は帰無仮説が正しい確率ではない。棄却されないことは「差がない」の証明ではない。
• カイ二乗検定は $\sum(O-E)^2/E$。期待度数は行合計×列合計÷総数、自由度は独立性なら (r−1)(c−1)、適合度なら k−1。
• 単回帰の傾きは $r\,s_y/s_x$、切片は $\bar{y}-b\bar{x}$、決定係数は $r^2$。係数は関連の大きさで、因果ではない。
• 重回帰の係数は他を一定にした差、ダミー変数は基準との差。分散分析のFは平方和を自由度で割ってから比をとる。

用語

期待度数（expected frequency）

帰無仮説が正しいときに各マスに入るはずの度数。独立性の検定では行合計×列合計÷総数。

適合度検定（goodness-of-fit test）

観測度数が仮説の比率（例：さいころの各目1/6）に合うかを調べるカイ二乗検定。

独立性の検定（test of independence）

クロス集計表の2つのカテゴリ変数が独立かを調べるカイ二乗検定。

ダミー変数（dummy variable）

カテゴリを0/1で表した説明変数。係数は基準カテゴリとの差を表す。

連続修正（continuity correction）

離散的な度数を連続分布で近似するときの補正。2×2表のイェーツの補正など。

よくある質問

片側検定と両側検定は、どちらを使えばよいですか？

データを見る前の目的で決めます。どちら向きの差も重要なら両側、一方向の差だけが意思決定に関係し、それを事前に宣言していたなら片側です。試験では問題文の「異なる」「大きい」「少なくとも」などの言葉から読み取ります。

カイ二乗検定とt検定はどう使い分けますか？

目的変数がカテゴリ（購入した／しない）で、度数の表を比べるならカイ二乗検定、目的変数が量的（内容量、金額）で平均を比べるならt検定です。2群の比率の比較は、比率の差のz検定でも、2×2表のカイ二乗検定でも同じ結論になります（連続修正なしの場合）。

決定係数が低い回帰は役に立たないのですか？

そうとは限りません。個々の予測は外れやすくても、傾きの推定（平均的な関係）が精度よく求まっていれば、施策の検討に役立つことがあります。予測に使うのか、関係の大きさを知りたいのかで判断します。

期待度数が小さいときはどうなりますか？

カイ二乗分布による近似が悪くなり、p値が不正確になります。目安として期待度数5未満のマスが多い場合は、カテゴリをまとめる、フィッシャーの正確検定を使う、などを検討します。

多重共線性があると何が困りますか？

説明変数どうしが強く相関していると、どちらの変数の効果かを分けられず、係数の標準誤差が大きくなり、符号が直感と逆になることもあります。予測の精度自体は落ちないこともありますが、係数の解釈には使えなくなります（「重回帰と係数解釈」（有料版））。

仕事で「有意差あり」と報告されたら、何を確認しますか？

①片側か両側か、事前に決めていたか、②効果の大きさと信頼区間、③標本サイズ、④何回検定したか（多重比較）、⑤実験か観察データか、の5点です。特に②と⑤は、導入判断に直結します（「検定結果の伝え方」（有料版））。

確認問題

次に学ぶこと

次は 解く順序と計算 で、限られた試験時間で問題を解く順序と、電卓での計算の工夫（和と2乗和からの分散、検算、数値表の読み方）を練習します。

誤解別の戻り先：p値・棄却の解釈 → 「p値と有意水準」（有料版）、「検定結果の伝え方」（有料版）／片側・両側 → 「帰無と対立仮説」（有料版）／自由度・分布 → 「正規・指数・t・カイ二乗・F」（有料版）／回帰の傾き・決定係数 → 「単回帰と最小二乗」（有料版）／係数の解釈・ダミー変数 → 「重回帰と係数解釈」（有料版）／因果 → 「介入と観察」（有料版）。この授業の確認問題だけで習得とはしません。CE01の総合テストと模試（オリジナル模試と弱点補習）で判定します。