解く順序と計算｜統計検定2級の体系とオリジナル演習

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統計検定2級の体系とオリジナル演習（中級・読む30分＋演習40分）

この授業のゴール

• 公式の試験時間と問題数から1問あたりの目安時間を計算し、後回しにする基準を決めて時間配分の計画を立てられる
• 「求める量 → 条件 → 式 → 計算 → 検算 → 選択肢照合」の順で問題を処理し、各段階で起きる誤りを説明できる
• 和と2乗和・積和から、平方根の使える一般電卓で分散・相関係数・回帰係数を求められる
• 値の範囲や単位による検算で、計算上ありえない選択肢を除外できる

仕事でどう使うか

試験の失点には、「知らなかった」だけでなく「時間が足りなかった」「計算を途中で丸めた」「数値表の列を読み違えた」といった手順の失点が多く含まれます。この授業は、そうした失点を減らすための解き方と計算の練習です。

検算の習慣（値の範囲・単位・桁を確かめる）は、試験に限らず、他人の分析を受け取ったときの第一の防御になります。

確認日と出典：この授業の試験情報は、2026年10月（10月11日）に統計検定の公式サイトで確認した内容です。
- 統計検定2級のページ：https://www.toukei-kentei.jp/grade/grade2/
- 試験概要のページ：https://www.toukei-kentei.jp/about/summary
- 統計検定2級 出題範囲表（PDF）：https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf
- 出題範囲表の改訂のお知らせ：https://www.toukei-kentei.jp/news/post-8545

試験の方式・範囲・合格水準は変わることがあります。受験前に必ず公式サイトの最新情報で確認してください。

前提

次の内容を前提にします。

• 試験の形式と範囲 → 対象範囲と項目対応
• 分散・標準偏差 → 記述と確率、代表値と散らばり
• 標準誤差と区間 → 推定と区間
• 検定と回帰 → 検定と回帰、相関 → 「共分散と相関」（有料版）、単回帰 → 「単回帰と最小二乗」（有料版）
• 総和の記号 → 総和と総乗の記号、桁と丸め → 単位と桁と丸め

この授業では、四則演算と平方根（√）が使える一般電卓を想定します。公式サイトによると、試験に持ち込めるのはこの種の普通電卓・事務用電卓で、関数電卓は使えません（2026年10月（10月11日）確認）。

身近な状況：最後の8問が手つかずになった

Kさんはオリジナル模試（35問、90分の設定）で、序盤の確率の問題に1問10分以上かけてしまい、最後の8問を読む時間がありませんでした。後で解き直すと、残りの8問のうち6問は2分以内に解ける問題でした。

公式サイトに記載されている試験時間と問題数（90分・35問程度、2026年10月（10月11日）確認）から、1問あたりの平均時間を計算すると

$$90 \div 35 \approx 2.57\ \text{分（約2分34秒）}$$

です。問題数は「程度」とされているので、正確な値ではなく目安として使います。1問に10分かけると、平均的な問題の約4問分の時間を使うことになります。どの問題にも同じ配点があるとは限りませんが（配点は公表されていません）、解ける問題を解かずに終わるのは確実な失点です。

Kさんの失点の原因は、知識ではなく「どの問題にどれだけ時間をかけるか」を決めていなかったことでした。この授業では、時間配分・解く順序・電卓の使い方・検算の4つを手順として身につけます。

直感的な説明：3周で解く、6段階で処理する

時間配分は3周で考えます。

1. 1周目：全問を順に読み、目安時間（約2.5分）で解ける問題を解く。3分たっても方針が立たない問題は、番号を控えて後回しにする。
2. 2周目：後回しにした問題に、残り時間を割り振って取り組む。
3. 最終確認：最後の数分は、未回答がないかの確認と、検算が必要な問題の見直しにあてる。選択式なので、未回答のまま終えるより、消去法で絞って回答するほうが得点の可能性があります（採点方法の詳細は公式の受験案内で確認してください）。

1問の処理は6段階で行います。

選択肢には、①〜④の各段階のよくある誤りから作った値が並んでいることがあります。自分の答えが選択肢にあっても、それだけで正しいとは限りません。

正確な定義：電卓で使う計算公式と検算の基準

1. 和と2乗和から偏差平方和を求める公式：データ $x_1,\dots,x_n$ について、$\sum x_i$（和）と $\sum x_i^2$（2乗和）がわかれば

$$S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum x_i^2-\frac{\left(\sum x_i\right)^2}{n}$$

同様に、偏差積和は $S_{xy}=\sum x_iy_i-\frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$ です。これを使うと

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}},\qquad \hat{b}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad s^2=\frac{S_{xx}}{n-1}$$

が求まります。偏差を1つずつ計算するより、電卓の操作回数が少なくなります。

2. 丸めの規則：途中の計算は、少なくとも答えに必要な桁より2桁以上多く保持します。平方根は最後にとり、$\sqrt{S_{xx}}\times\sqrt{S_{yy}}$ ではなく $\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$ と1回でとると丸めの回数が減ります。

3. 検算の基準

4. 数値表の読み方：数値表は表によって「上側確率」と「下側確率（累積）」のどちらを示すかが違います。表の見出しの図（どちら側の面積か）を最初に確認します。両側検定の有意水準5%では、上側2.5%（$\alpha/2$）の列を読みます。t分布表は自由度の行と上側確率の列の交点、カイ二乗分布表も自由度の行で読みます。

段階付き例題：和の表から相関係数と回帰直線を求める

問題：5店舗の販促回数 x と来店数の増加 y（百人）について、次の集計値が与えられた。相関係数 r と回帰直線 $\hat{y}=a+bx$ を求めよ。

$n=5$、$\sum x=15$、$\sum y=20$、$\sum x^2=55$、$\sum y^2=86$、$\sum xy=66$

① 求める量：相関係数 r（単位なし）、傾き b（百人/回）、切片 a（百人）。

② 条件：単回帰、最小二乗法。

③ 式：$S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}$ を求め、$r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$、$b=S_{xy}/S_{xx}$、$a=\bar{y}-b\bar{x}$。

④ 計算

⑤ 検算：r は −1〜1 の範囲にあり、b と同じ正の符号。$S_{xx}, S_{yy}$ は正。$R^2=r^2=0.6$ は $b\times S_{xy}/S_{yy}=0.6\times6/6=0.6$ と一致します。

⑥ 照合：選択肢に「0.77」と「0.78」が並んでいたら、0.7746 なので0.77。途中で $\sqrt{10}\approx3.2$、$\sqrt{6}\approx2.4$ と丸めて掛けると $6/7.68\approx0.781$ となり、誤って0.78を選んでしまいます（失敗2）。

意味：販促が1回多い店舗は、来店数の増加が平均0.6百人（60人）多い、という関連を表します。データは架空です。

操作して理解する：時間配分と検算をコードで確かめる

次のコードは、(1) 1問あたりの目安時間、(2) 和の表からの計算、(3) ありえない値の検出を行います。check(name, value) は量の名前と値（float）を受け取り、範囲外ならメッセージ（str）を返し、問題がなければ空文字を返す関数です。

import math

# (1) 時間配分（公式の記載: 90分・35問程度。問題数は目安）
minutes, n_q = 90, 35
print("1問あたり", round(minutes / n_q, 2), "分 =", round(minutes / n_q * 60), "秒")
print("10分かけた1問は、平均の何問分か:", round(10 / (minutes / n_q), 1))

# (2) 和の表から相関と回帰
n, sx, sy, sxx, syy, sxy = 5, 15, 20, 55, 86, 66
Sxx = sxx - sx**2 / n; Syy = syy - sy**2 / n; Sxy = sxy - sx * sy / n
r = Sxy / math.sqrt(Sxx * Syy); b = Sxy / Sxx; a = sy / n - b * sx / n
print("Sxx, Syy, Sxy =", Sxx, Syy, Sxy, " r =", round(r, 4), " b =", b, " a =", round(a, 2))
print("途中で丸めた r =", round(6 / (3.2 * 2.4), 3))

# (3) 検算
RANGES = {"確率": (0, 1), "相関係数": (-1, 1), "決定係数": (0, 1), "分散": (0, math.inf)}
def check(name, value):
    lo, hi = RANGES[name]
    return "" if lo <= value <= hi else f"{name}={value} は範囲[{lo}, {hi}]の外"
for name, v in [("確率", 1.08), ("相関係数", r), ("決定係数", -0.2), ("分散", 7.0)]:
    print(name, round(v, 4), "->", check(name, v) or "OK")

出力：1問あたり2.57分（154秒）、10分は平均の約3.9問分。$S_{xx}=10$、$S_{yy}=6$、$S_{xy}=6$、r=0.7746、b=0.6、a=2.2。途中で丸めた r は0.781。検算では、確率1.08と決定係数−0.2が範囲外として検出されます。

考える問い

1. $\sum x^2-(\sum x)^2$ と、n で割るのを忘れると $S_{xx}$ はどうなるでしょう。→ $55-225=-170$ と負になり、検算（分散・偏差平方和は0以上）で誤りに気づけます。
2. 試験時間が同じで問題数が40問なら、1問あたりの目安は？ → $90/40=2.25$ 分。問題数が変われば計画も変わるので、受験前に公式の記載を確認します。

発展：計算の数値的な注意と、解く順序の個人差

桁落ち：$\sum x^2-(\sum x)^2/n$ は、データの値が大きく、ばらつきが小さいとき（例：1,000,001、1,000,002、1,000,003）に、大きな数どうしの引き算で有効数字が失われます。電卓の桁数を超えると誤差が大きくなります。その場合は、全データから一定の値（例：1,000,000）を引いてから計算します。分散は全データに同じ値を足し引きしても変わらないので、この工夫は結果に影響しません。コンピュータの統計ソフトも、内部では偏差を使う安定な方法で計算しています。

係数の暗記と表の利用：1.96（95%両側）、1.645（95%片側・90%両側）、2.576（99%両側）は表を引く時間を節約できます。t・カイ二乗・Fの値は自由度で変わるので、表の読み方を確実にします。数値表の形式（上側か累積か）は表ごとに違うので、模試でも配布される表の見出しを確認する練習をします。

解く順序の個人差：「計算問題を先に、用語問題を後に」がよいか、その逆がよいかは人によります。オリジナル模試で、領域別に1問あたりの所要時間と正答率を記録し、時間あたりの得点が高い領域から解く順序を決めるのが合理的です（オリジナル模試と弱点補習）。

CBTの操作：画面上で問題を行き来できるか、後回しの印をつけられるかなどの操作方法は、公式サイトの解答方法の案内や受験案内で確認してください。この授業では、どの操作方法でも使える「番号を控えて後回しにする」考え方だけを扱います。

よくある失敗

失敗1：1問に時間をかけすぎ、解ける問題を読まずに終わる

誤った例：「この問題は解けそうだ」と感じて、1問に10分かける。結果として最後の数問を読めない。

計算で確かめる：1問あたりの目安は約2.57分なので、10分は約3.9問分です。その1問が正解しても、読めなかった問題のうち解けたはずの問題を失えば、差し引きでは損になります。

直し方：1周目は「3分で方針が立たなければ番号を控えて次へ」と決めておく。模試で、1問あたりの時間を記録し、自分が時間を使いすぎる領域を把握する。

失敗2：途中で丸めて、近い選択肢を誤る

誤った例：$r=6/\sqrt{10\times6}$ を、$\sqrt{10}\approx3.2$、$\sqrt{6}\approx2.4$ と丸めて $6/7.68\approx0.781$ とし、選択肢「0.78」を選ぶ。

正しくは $\sqrt{60}\approx7.746$ で $r\approx0.7746$、選択肢は「0.77」です。丸め誤差は掛け算・割り算で積み重なります。

直し方：平方根は最後にまとめて1回だけとる（$\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$）。途中の値は電卓のメモリーに入れるか、答えに必要な桁より2桁以上多く書き写す。

失敗3：数値表の列を読み違える／公式の n を忘れる

誤った例A：両側5%の検定で、上側5%の列を読み、z=1.645を境目にする。正しくは上側2.5%の1.96です。z=1.8 の結果を「両側5%で有意」と誤判定してしまいます。

誤った例B：$S_{xx}=\sum x^2-(\sum x)^2$ と、n で割るのを忘れる。例題なら $55-225=-170$ となり、偏差平方和が負になります。

直し方：表を引く前に「両側なら α/2」と書き、表の見出しの図で上側か累積かを確認する。偏差平方和・分散が負になったら、公式の転記ミスを疑う（検算の基準を使う）。

まとめ

• 1問あたりの目安は 90÷35≈2.57分（公式記載の値から計算。問題数は目安）。3分で方針が立たなければ後回しにし、3周で解く。
• 1問は「求める量→条件→式→計算→検算→照合」の6段階で処理する。選択肢には各段階の誤りから作った値が並ぶ。
• $S_{xx}=\sum x^2-(\sum x)^2/n$、$S_{xy}=\sum xy-\sum x\sum y/n$ から分散・相関・傾きを求める。
• 途中で丸めず、平方根は最後に1回。確率・相関・決定係数・分散の範囲で検算する。
• 数値表は上側か累積かを確認し、両側なら α/2 の列を読む。

用語

偏差平方和（sum of squared deviations）

各データと平均の差の2乗の合計。$S_{xx}=\sum x^2-(\sum x)^2/n$ でも求められる。

偏差積和（sum of cross-products of deviations）

2変数の偏差の積の合計 $S_{xy}$。相関係数と回帰の傾きの分子になる。

桁落ち（loss of significance）

値の近い大きな数どうしを引き算したときに、有効数字が失われる現象。

検算（sanity check）

答えが値の範囲・符号・単位・桁の点でありうるかを確かめること。

よくある質問

なぜ偏差を1つずつ計算せず、和と2乗和の公式を使うのですか？

データが多いと偏差の計算は手間がかかり、平均が割り切れないと丸め誤差も増えます。和と2乗和の公式なら、電卓の操作が少なく、問題文に集計値だけが与えられた場合にも使えます。

検算に時間をかけると、時間が足りなくなりませんか？

検算は「値の範囲・符号・単位」の確認なら数秒でできます。全部をもう一度計算する必要はありません。範囲外の値を見つけたときだけ計算をやり直します。

関数電卓との違いで困ることはありますか？

一般電卓には統計機能や累乗の関数がないので、2乗は掛け算、平方根は√キーで計算します。累乗根（成長率の幾何平均など）が必要な問題では、√を繰り返す（4乗根は√を2回）などの工夫が必要です。持ち込める電卓の条件は公式サイトで確認してください。

問題数が変わったら、時間配分はどうしますか？

1問あたりの目安を「試験時間÷問題数」で計算し直します。公式の記載が「35問程度」とあるように、問題数は目安です。受験前に最新の公式情報を確認し、模試でも同じ目安で練習します。

どこで失敗しやすいですか？

失敗しやすいのは、①求める量を書かずに計算を始める、②途中で丸める、③両側と片側の列を取り違える、の3つです。どれも知識不足ではなく手順の問題なので、6段階の処理を毎回同じ順で行うと減らせます。

仕事でこの技術をどう使いますか？

例えば、取引先から「平均と標準偏差とn」だけが記載された報告書を受け取ったとき、標準誤差や信頼区間を自分で計算して、結論の確かさを判断できます。集計値に矛盾（分散が負になるなど）があれば、データの誤りを指摘できます。

確認問題

次に学ぶこと

次は オリジナル模試と弱点補習 で、ここまでの内容を横断するオリジナル模試を解き、誤りを「分母・仮定・計算・解釈」に分類して補習ルートを作ります。

誤解別の戻り先：和の公式・分散 → 代表値と散らばり／相関・回帰 → 「共分散と相関」（有料版）、「単回帰と最小二乗」（有料版）／数値表と分布 → 「正規・指数・t・カイ二乗・F」（有料版）／丸め・桁 → 単位と桁と丸め。この授業の確認問題だけで習得とはしません。CE01の総合テストと模試で判定します。