2進数・ビット・容量｜論理・アルゴリズム・情報の基礎

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論理・アルゴリズム・情報の基礎（初級・読む25分＋演習30分）

この授業のゴール

• ビット数から表せる値の数（2のn乗）を計算し、必要なビット数を求められる
• 2進数と10進数を相互に変換し、1バイトで表せる整数の範囲（0〜255）を説明できる
• 行数と1行のバイト数からデータ容量を見積もり、1,000倍の単位と1,024倍の単位を区別できる
• 小数が2進数で正確に表せないことを実行結果で確かめ、等しさの比較を安全に書ける

仕事でどう使うか

データの仕事では、「このデータは何GBか」「このID列は何桁あれば足りるか」「整数の列を小さい型に変えてよいか」を判断する場面が頻繁にあります。計算機の中の値は、すべて0と1の並びで保存されるため、その性質を知っていると、容量の見積もりと、不思議な計算結果の理由がわかります。

この授業のゴールは、ビット・バイト・容量を数値で計算し、見積もりの根拠として説明できるようになることです。

前提

次の言葉と操作を使います。不安があれば先に戻ってください。

• 累乗（2を3回かける $2^3=8$）と、指数 → 四則計算と計算順序、文字式と代入
• 単位と桁と丸め（1,000倍の接頭辞：K、M、G）→ 単位と桁と丸め
• 型（整数 int、小数 float、文字列 str）→ 数値・文字列・真偽値
• 手順と繰り返し（割り算を繰り返す手順）→ 手順・分岐・繰り返し

コードは、画面内の 実行 ボタンで動かせます。実行前に、結果を予想してください。

身近な状況：4つのスイッチで、何通りの状態を表せるか

部屋の壁に、ON／OFFの切り替えスイッチが4個並んでいます。各スイッチは、ONかOFFの2通りです。4個全体では、何通りの並びがあるでしょうか。

1個目が2通り、2個目が2通り、…と続くので、全体は 2×2×2×2＝16通りです。ONを1、OFFを0と書くと、「0000」から「1111」までの16個の並びになります。

コンピュータの中のスイッチ1個にあたるものがビット（bit）で、0か1の2通りの値を持ちます。ビットがいくつか集まると、表せる並びの数は次のように増えます。

for n in range(1, 11):
    print(f'{n:2} ビット → {2 ** n:5} 通り')

出力のとおり、1ビット増えるごとに2倍になります。会員区分（一般・会員・プレミアムの3種類）を数値で表すなら、2ビットあれば4通りまで表せるので足ります（1ビットは2通りで足りません）。

この「何通り表せるか」という考え方が、容量の見積もりやIDの桁数の設計の出発点です。この授業では、このスイッチの比喩を、正確な数と記号で整理します。

直感的な説明：位取りの考え方は、10進数も2進数も同じ

ふだん使う10進数は、桁が1つ上がるごとに10倍の重みが付く位取りです。たとえば 473 は、4×100＋7×10＋3×1 です。

2進数は、重みが10倍ではなく2倍になる位取りです。右から順に、1、2、4、8、16、… の重みが付きます。2進数の 1011 を、10進数に直しましょう。

8＋2＋1＝11 です。つまり、2進数の1011は、10進数の11と同じ大きさです。

逆に、10進数を2進数に直すには、2で割った余りを順に並べます。11を2で割ると商5・余り1、5を2で割ると商2・余り1、2を2で割ると商1・余り0、1を2で割ると商0・余り1。余りを下から上へ読むと 1011 です。

たとえ話の限界：スイッチの比喩は「並びの数」を数えるためのものです。実際のコンピュータは、数、文字、画像、色などを、すべてビットの並びに約束事（符号化）で対応させています。同じビットの並びでも、整数として読むか、文字として読むかで意味が変わります。

正確な定義：ビット・バイト・範囲・容量の単位

用語と計算式を、正確に定義します。

• ビット（bit）：0か1のどちらかを表す、情報の最小単位。
• バイト（byte）：8ビットのまとまり。$2^8=256$ 通りを表せる。
• $n$ ビットで表せる値の数は $2^n$ 通り。
• 符号なし整数（0以上だけを表す整数）の範囲：0 から $2^n-1$ まで。1バイトなら 0〜255（最大値は256ではない）。
• 符号付き整数（負の数も表す整数）の範囲：$-2^{n-1}$ から $2^{n-1}-1$ まで。1バイトなら −128〜127。

$n$ はビット数（個）、$2^n$ は通り数（個）です。$n=8$ を代入すると $2^8 = 2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2 = 256$ です。256通りのうち、0を1つ目に数えるので、最大値は 255 です。

必要なビット数：$k$ 種類を区別するのに必要な最小のビット数 $n$ は、$2^n \ge k$ を満たす最小の整数です。100種類なら、$2^6=64$ では足りず、$2^7=128$ で足りるので、$n=7$ です。

次のコードは、Python で2進数と10進数を相互に変換します。bin(x) は整数 x を '0b' から始まる2進数の文字列に直し、int(s, 2) は2進数の文字列を整数に直します。

x = 11
print(bin(x))                  # '0b1011'
print(format(x, 'b'))          # '1011'（0b なし）
print(int('1011', 2))          # 11
print((100 - 1).bit_length())  # 100種類を区別するのに必要なビット数

bit_length() は、整数を表すのに必要な2進数の桁数を返します。0〜99の100個を表すとき、最大値99は2進数で7桁（1100011）なので、必要なビット数は7です。

容量の見積もり：データの容量は、次の式で見積もります。

$$\text{容量（バイト）}=\text{行数}\times\text{1行のバイト数}$$

単位の違い：1,000倍ごとの接頭辞（K、M、G）では、1KB＝1,000バイト（10の3乗）とするのが国際単位系（SI）の使い方です。一方、1,024倍（2の10乗）を表す正式な単位として、KiB、MiB、GiB（キビバイト、メビバイト、ギビバイト）があります。1MiB＝1,048,576バイト、1GiB＝1,073,741,824バイトです。ソフトウェアやOSによって、同じ「GB」が1,000倍の意味だったり1,024倍の意味だったりします。これは執筆時点（2026年）の一般的な説明で、使っている製品の表記は仕様書で確認してください。

段階付き例題：会員データの容量を見積もる

問題：会員データが1,000,000行あります。1行は、会員ID（8バイト）、登録日（8バイト）、会員区分（4バイト）、氏名（最大100バイト）の合計120バイトで保存されます。全体の容量を見積もってください。

ステップ1：式を決める。容量（バイト）＝行数×1行のバイト数。

ステップ2：代入する。1,000,000×120＝120,000,000バイトです。

ステップ3：単位を決める。1MB＝1,000,000バイトとすると、120,000,000÷1,000,000＝120MB。1MiB＝1,048,576バイトとすると、120,000,000÷1,048,576≒114.4MiB。同じバイト数でも、使う単位で数字が変わります。

rows = 1_000_000
bytes_per_row = 8 + 8 + 4 + 100
total = rows * bytes_per_row
print('1行', bytes_per_row, 'バイト')
print('合計', total, 'バイト')
print('MB (1000倍)  :', total / 1000 ** 2)
print('MiB (1024倍) :', round(total / 1024 ** 2, 1))

ステップ4：氏名の保存を点検する。氏名が日本語の場合、文字コードによって1文字のバイト数が違います。UTF-8（世界中の文字を扱える文字コードの1つ）では、英数字は1バイト、ひらがなや漢字は通常3バイトです。

for s in ['abc', 'あいう', '山田太郎']:
    print(s, len(s), '文字', len(s.encode('utf-8')), 'バイト')

出力は、abc が3文字3バイト、あいう が3文字9バイト、山田太郎 が4文字12バイトです。「100バイト」は、日本語なら約33文字ぶんです。

ステップ5：結果を読む。この見積もりは、データベースの内部構造（索引や管理領域）やバックアップを含みません。実際の保存容量は、見積もりより大きくなります。見積もりは、桁（数十MBか数十GBか）を知るために使います。

ステップ6：意味を言葉に戻す。「100万行の会員表は、1行120バイトで約120MB。氏名の最大長が変わると容量も変わる」。根拠の式と前提（1行のバイト数）を一緒に書くと、他の人が検証できます。

操作して理解する：範囲・必要ビット数・あふれを試す

次のコードは、ビット数ごとの整数の範囲と、値が範囲を超えたとき（あふれ）の様子を示します。実行する前に、8ビットの符号なし整数で 255 に1を足すと何になるか予想してください。

for n in [8, 16, 32]:
    print(f'{n:2} ビット 符号なし 0 〜 {2 ** n - 1:>13,}')
    print(f'{n:2} ビット 符号付き {-2 ** (n - 1):>13,} 〜 {2 ** (n - 1) - 1:>13,}')

# 8ビットの符号なし整数は 256 通り。範囲を超えると、先頭に戻る(256で割った余り)
v = 255
print('255 + 1 =', (v + 1) % 256)
print('200 + 100 =', (200 + 100) % 256)

予想と答え：

• 8ビット符号なしで 255＋1 は、256通りを一周して 0 に戻ります。200＋100＝300 は、300−256＝44 になります。
• 画像の明るさを0〜255の整数で保存するのは、1ピクセル1バイトで足りるためです。255を超える計算をする前には、より大きい型に変える必要があります。

次に、自分で書き換えてみましょう。

1. 年齢（0〜120歳）を保存するには、符号なし整数で何ビットあれば足りますか。
2. 日本の全人口（約1.2億人）にIDを振るには、最低何ビット必要ですか。

答えは、(1) 121通りが必要で、$2^7=128$ なので 7ビット。(2) 約1.2億（1.2×10⁸）は、$2^{26}=67{,}108{,}864$ では足りず、$2^{27}=134{,}217{,}728$ で足りるので 27ビットです。実務では、ID体系に余裕を持たせて、32ビット（約42.9億通り）などを使います。

注意：「必要なビット数」は理論上の最小値です。実際のデータベースは、1バイト単位（8ビット、16ビット、32ビット、64ビット）で整数の型を選びます。

発展：浮動小数点の誤差・符号付き整数・文字コード

浮動小数点数：小数は、2進数の「仮数部×2の指数」の形で保存されます（浮動小数点数、Python の float）。10進数の0.1は2進数では無限に続く小数になり、有限のビット数で保存すると近似値になります。そのため、0.1 + 0.2 は 0.3 とわずかに異なります。お金のように、1円未満の誤差を許さない計算では、整数（円単位）や、10進数を正確に扱う型を使います。

符号付き整数：負の数は、多くの場合、「2の補数」という方法で保存されます。8ビットなら、0〜127を0と正の数（0〜127）、128〜255を −128〜−1 に対応させます。範囲が −128〜127 になる理由はこの割り当てです。

精度とビット数の関係：機械学習では、重みを32ビットの浮動小数点から16ビットに減らすと、メモリは半分になりますが、表せる桁数が減ります。容量・速度・精度のトレードオフであり、どれを優先するかは、目的で決まります。

ハッシュとID：IDを短くするほど衝突（別の対象が同じIDになる）の確率が上がります。必要なビット数の見積もりは、「全件を区別できる」理論上の最小値ですが、ランダムなIDでは余裕を大きく取る必要があります。

圧縮と容量：圧縮をかけると、保存される容量は小さくなります。圧縮率はデータの性質で変わり、事前に確定できません。見積もりは、まず圧縮なしで計算し、実測で確認します。全件を読む費用の考え方は 計算量と小さい反例 で扱います。

よくある失敗

失敗1：1,000倍の単位と1,024倍の単位を混ぜて、見積もりがずれる

10GB（1,000倍系）のデータを、「10GiB（1,024倍系）の空き領域に入るか」で判断する場面です。同じ「10」でも、単位が違えば大きさが違います。

data_bytes = 10 * 1000 ** 3        # 10GB（1000倍の単位）
print('10GB のバイト数:', data_bytes)
print('GiB 換算 :', round(data_bytes / 1024 ** 3, 3), 'GiB')
print('差の割合 :', round((1 - data_bytes / (10 * 1024 ** 3)) * 100, 1), '%')

10GB（10×10⁹バイト）は約9.313GiBで、10GiBより約6.9%少なくなります（10GiBを基準にした差）。逆にGBを基準にすると、1GiBは1GBより約7.4%大きい単位です。単位の接頭辞が大きくなるほど、1,000倍と1,024倍の差は広がります（GBを基準にすると、KBでは2.4%、GBでは約7.4%）。

直し方：容量を書くときは、単位が1,000倍系（KB・MB・GB）か1,024倍系（KiB・MiB・GiB）かを、必ず確認して併記する。見積もりでは、バイト数まで落としてから単位を換算する。

失敗2：小数の等しさを `==` で比べて、予想と違う結果になる

0.1＋0.2が0.3と等しいかを、そのまま比べた例です。

a = 0.1 + 0.2
print(a)
print(a == 0.3)
print(abs(a - 0.3) < 1e-9)
print(format(0.1, '.20f'))

出力は、0.30000000000000004、False、True、0.10000000000000000555 です。0.1は2進数で無限小数になるため、保存された値は近似値で、足し算の結果にも微小な誤差が残ります。

直し方：小数の等しさは、「差の絶対値が十分小さい」かで判定する（abs(a - b) < 1e-9）。お金の計算は、円単位の整数で行う。誤差は「バグ」ではなく、保存方式の性質です。

失敗3：必要なビット数を、種類数の割り算で求めてしまう

100種類を区別するのに必要なビット数を、「100÷2＝50ビット」や「100÷8＝12.5ビット」と考えてしまう誤りです。正しくは、$2^n \ge 100$ を満たす最小の $n$ です。

k = 100
for n in range(1, 10):
    ok = 2 ** n >= k
    print(n, 'ビット →', 2 ** n, '通り', '足りる' if ok else '足りない')
    if ok:
        break
print('bit_length で確認:', (k - 1).bit_length())

6ビットは64通りで足りず、7ビット（128通り）で足ります。ビットが1つ増えると通り数は2倍になる（足し算ではなく、かけ算で増える）ので、割り算では求まりません。また、$2^7=128$ ぴったりのときの境界にも注意が必要です。128種類なら7ビット、129種類なら8ビットです。

直し方：種類数 $k$ に対して、$(k-1)$ を2進数にしたときの桁数（(k-1).bit_length()）が必要なビット数。0から数えるため、$k$ ではなく $k-1$ を使います。

まとめ

• nビットで表せる値の数は $2^n$ 通り。1ビット増えるごとに2倍になる。k種類を区別する最小のビット数は、$2^n \ge k$ を満たす最小の n。
• 1バイトは8ビットで256通り。符号なしなら0〜255、符号付きなら−128〜127。範囲を超えると、あふれる。
• 容量＝行数×1行のバイト数。1,000倍系（KB・MB・GB）と1,024倍系（KiB・MiB・GiB）を区別して併記する。
• 小数は2進数で近似して保存される。0.1 + 0.2 == 0.3 は False。差が十分小さいかで比べる。

用語

ビット（bit）

0か1のどちらかを表す、情報の最小単位。

バイト（byte）

8ビットのまとまり。256通りの値を表せる。

2進数（binary number）

桁が上がるごとに重みが2倍になる位取りの数。0と1だけで書く。

KiB・MiB・GiB（kibibyte, mebibyte, gibibyte）

1,024倍ごとの容量の単位。1MiB＝1,048,576バイト。1,000倍系のKB・MB・GBと区別する。

浮動小数点数（floating-point number）

小数を、仮数と指数の形で近似して保存する数。Pythonのfloat。

よくある質問

なぜコンピュータは10進数ではなく2進数を使うのですか？

電気回路では、オンとオフの2状態を確実に区別するのが、最も簡単で誤りにくいからです。2状態の組み合わせで、数も文字も画像も表せます。人間が読みやすいように、画面では10進数や16進数で表示されます。

16進数は、何のために使うのですか？

2進数の4桁を、1桁（0〜9、A〜F）で表せるので、長い2進数を短く書けます。色のコード（#FF0000）やメモリの番地で使います。たとえば FF は 15×16＋15＝255 で、8ビットがすべて1の状態です。

データ容量を見積もるとき、どこまで細かく計算すべきですか？

目的は、桁（MBか、GBか、TBか）を知ることです。行数×1行のバイト数で十分な場合が多いです。ただし、費用や性能の判断に使うときは、索引・バックアップ・複製・圧縮の影響を別に見積もり、実測で確認します。

整数の型を小さくすれば、メモリは必ず節約できますか？

データが大きい場合は、節約できます。たとえば100万行の列を64ビットから32ビットにすると、その列は半分になります。ただし、範囲を超えると、あふれて誤った値になります。変更の前に、最小値・最大値を確認します。

お金の計算に小数（float）を使ってはいけませんか？

誤差が許されない計算では、円単位の整数、または10進数を正確に扱う型を使うのが一般的です。分析で、おおまかな金額の平均を見るだけなら float でも問題になりにくいですが、合計が帳簿と1円でも合わなければならない場面では使わないでください。

文字数とバイト数が違うのは、なぜ問題になるのですか？

データベースの列の長さを「バイト」で制限していると、日本語は1文字が複数バイトなので、文字数が想定より少なくなって入り切らないことがあります。仕様に「文字数」か「バイト数」かを書き、日本語の例で検査してください。

確認問題

次に学ぶこと

次は 計算量と小さい反例 で、手順の「費用」の増え方（計算量）と、小さい反例で誤りを見つける方法を学びます。この授業の容量の見積もりも、全件を読む費用の見積もりの前提です。

型と数値の扱いは 数値・文字列・真偽値・演算子と型変換、単位と桁は 単位と桁と丸め に戻って確認できます。この授業の確認問題だけでモジュールの習得とはしません。ON06 の総合テストと、会員割引の条件を表で検証する自力課題で判定します。