総和と総乗の記号｜関数・指数・対数・総和

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関数・指数・対数・総和（初級・読む22分＋演習30分）

この授業のゴール

• Σ（総和）の添字・下限・上限・項を読み取り、小さく展開して値を計算できる
• 平均・偏差の平方和を Σ で書き、Σ(x²) と (Σx)² の違いを数値で示せる
• Π（総乗）で複数期間の成長倍率を表し、対数をとると Σ になることを確かめられる
• Python の sum / range と Σ の対応、特に添字の開始と終了のずれを説明できる

仕事でどう使うか

統計量も損失関数も、ほとんどは「たくさんの値を足す」計算です。Σ（シグマ）はそれを短く書く記号で、数式が読めるかどうかの最初の関門になります。

実務では、「合計の範囲は何件か（上限 $n$）」「二乗してから足すのか、足してから二乗するのか」を確認する場面が頻繁にあります。

前提

次の知識を使います。

• 累乗（$i^2$ は $i\times i$）→ 指数と増減率
• 平均（値を足して個数で割る）→ 平均・合計・中央値を手計算
• 文字式と添字（$x_1,x_2,\dots$ のように番号を付ける）→ 文字式と代入
• 対数が積を和に変えること → 対数と桁

画面内のPythonで、sum と range を使って同じ計算を確かめます。

身近な状況：3日間の売上を足す

ある店の3日間の売上を $x_1=3$、$x_2=5$、$x_3=10$（万円）とします。添字（そえじ：番号を示す小さな数字）で、$x_i$ は「$i$ 日目の売上」を表します。

3日間の合計は $3+5+10=18$ 万円、平均は $18\div3=6$ 万円です。

3日ではなく365日だったら？ $x_1+x_2+\cdots+x_{365}$ と書くのは大変です。この「$i$ を1から $n$ まで動かして足す」を1つの記号にしたものが Σ です。一方、複数の期間の成長倍率を掛け合わせるのが Π（パイ） です。

直感的な説明：Σ は「ループして足す」、Π は「ループして掛ける」

Σ は、プログラムの for ループで合計を貯める処理そのものです。

total = 0
for i in 1..n:
    total = total + (i番目の項)

Π も同じで、total = 1 から始めて、各項を掛けていきます。足し算の最初の値は0、掛け算の最初の値は1です（何も足さなければ0、何も掛けなければ1）。

読み方のコツは、小さな値で展開することです。$n=3$ など小さい数で書き下せば、必ず意味が分かります。

正確な定義：Σ と Π の読み方と性質

総和：

$$\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1+a_2+\cdots+a_n$$

• $i$：添字（動く番号）。ここでは整数。
• 下の $i=1$：下限（開始値）。上の $n$：上限（終了値、ここも含む）。
• $a_i$：項（足される値）。式でもよい（$a_i=i^2$ など）。

例：$\sum_{i=1}^{3} i^2=1^2+2^2+3^2=1+4+9=14$。

総乗：

$$\prod_{i=1}^{n} a_i = a_1\times a_2\times\cdots\times a_n$$

例：$\prod_{i=1}^{3}(1+r_i)$ で $r=(0.1,\,-0.1,\,0.2)$ なら $1.1\times0.9\times1.2=1.188$。3期間の成長倍率は1.188で、18.8%増です。

性質（$c$ は定数、$a_i,b_i$ は項）：

注意：$\sum x_i^2\neq(\sum x_i)^2$。$\sum x_i^2=9+25+100=134$、$(\sum x_i)^2=18^2=324$ です。

偏差の平方和（ばらつきの基礎）：$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2$。ここで $\bar x$（エックスバー）は平均で、$x_i-\bar x$ は平均からのずれです。$x=(3,5,10)$、$\bar x=6$ では $(3-6)^2+(5-6)^2+(10-6)^2=9+1+16=26$。なお $\sum(x_i-\bar x)=-3-1+4=0$ で、ずれの和は常に0になります。

対数との関係：$\ln\prod p_i=\sum\ln p_i$。積は対数をとると和になります。

x = [3, 5, 10]
n = len(x)                          # 要素の数 (int)
total = sum(x)                      # Σ x_i
mean = total / n
print("Σx =", total, "平均 =", mean)
print("Σx² =", sum(v ** 2 for v in x), " (Σx)² =", total ** 2)
print("Σ(x-平均) =", sum(v - mean for v in x))
print("Σ(x-平均)² =", sum((v - mean) ** 2 for v in x))

sum(イテラブル) は要素の合計を返し、v ** 2 for v in x は各要素を二乗して順に渡す書き方です。出力は 18、6.0、134、324、0.0、26.0 です。

段階付き例題：Σ を展開し、コードと照合する

例題：$\sum_{k=2}^{5}(2k-1)$ を求める。

• ステップ1：添字 $k$ は2から5まで（上限5を含む）。
• ステップ2：$k=2$ のとき3、$k=3$ のとき5、$k=4$ のとき7、$k=5$ のとき9。
• ステップ3：合計 $3+5+7+9=24$。項の数は $5-2+1=4$ 個。
• ステップ4：コードに写す。Pythonの range(2, 6) は2,3,4,5。上限は含まれないので6を指定する。

print(sum(2 * k - 1 for k in range(2, 6)))        # 24
print(sum(2 * k - 1 for k in range(2, 5)))        # 上限を含め忘れると 15
print(len(range(2, 6)))                           # 項の数 4

意味：論文の式の「$i=1$ から $n$」は両端を含みます。Pythonの range(1, n+1) と対応します。range(n) は0から $n-1$ で、数式の範囲と1つずれることがあります。

例題2：成長倍率の積。4期間の成長率が $r=(0.10,-0.10,0.20,0)$ のとき、期間全体の倍率は

$\prod(1+r_i)=1.1\times0.9\times1.2\times1.0=1.188$。平均の率 $(0.1-0.1+0.2+0)/4=0.05$ を使って $1.05^4=1.2155$ とすると、実際の1.188とずれます。率の平均で複数期間を代表させるのは、近似でしかありません。

操作して理解する：添字の範囲と、積から和への変換

次のコードで、上限を変えたときの値を比べます。n を書き換えて、展開した式と照合してください。

n = 4
s = sum(i ** 2 for i in range(1, n + 1))
print("n =", n, " Σ i² =", s)
for n in [1, 2, 3, 4, 5]:
    print(n, sum(i ** 2 for i in range(1, n + 1)))

次に、積を対数の和に変える例です。確率 $p=(0.5,0.2,0.1)$ のとき、$\prod p_i=0.01$、$\ln\prod p_i=\sum\ln p_i$ です。

import math
p = [0.5, 0.2, 0.1]
prod = 1.0                       # 積の初期値は1
for v in p:
    prod *= v
print("積", prod, " ln(積)", round(math.log(prod), 5))
print("Σ ln p", round(sum(math.log(v) for v in p), 5))

どちらも約−4.60517で一致します。自分で試す問い：(1) p に 0 を入れると積は？ 対数の和は？ 答え：積は0。math.log(0) はエラーなので、対数の和は計算できない（確率0は対数と桁の定義域外）。(2) p を1000個の0.5にすると積は？ 答え：約9.3×10⁻³⁰²で、さらに増やせば0に潰れる（アンダーフロー）。対数の和は−693.1で安定。

発展：二重和、総和の入れ替え、Σ記法の落とし穴

二重和 $\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}$ は、行列（表）の全要素の合計です。有限個の和なら、$i$ と $j$ の順序を入れ替えても結果は同じです。表の行ごとに足してから合計しても、列ごとに足してから合計しても同じ、という意味です。

無限個の和（級数）の場合は、順序を入れ替えると値が変わることがあります。収束の条件は数列と等比級数で扱います。

記法の落とし穴：

• 上限・下限が省略された $\sum_i x_i$ は、「$i$ のすべての範囲」を意味する流儀があります。文脈で範囲を確認します。
• $\sum_{i=1}^{n}$ の中で $n$ を別の意味でも使うと混乱します。論文の式をコードに移すときは、添字名を整理します。
• 0始まり（$i=0,\dots,n-1$）の式もあります。個数は $n$ 個ですが、上限が $n-1$ になる点に注意します。

総乗は、すべての項が正のときだけ対数で和にできます。項に0や負があると、定義域の問題で $\ln$ が使えません。

よくある失敗

失敗1：Σx² と (Σx)² を混同する

x = [3, 5, 10]
print(sum(v ** 2 for v in x))   # Σx²
print(sum(x) ** 2)              # (Σx)²

134と324で全く違います。「二乗してから足す」と「足してから二乗する」は別物です。分散などの式では、前者が標準です。直し方：式を $n=2$ か $3$ で展開し、括弧の位置を確認する。

失敗2：range の上限の含め忘れ

$\sum_{i=1}^{5}i$ は $1+2+3+4+5=15$ ですが、range(1, 5) では4までしか足しません。

print(sum(range(1, 5)))      # 10: 5 が抜ける
print(sum(range(1, 5 + 1)))  # 15

直し方：数式の上限 $n$ はコードでは n + 1 を指定する。結果が展開した値と一致するか、必ず小さな $n$ で検算する。

失敗3：定数の和を定数と取り違える

$\sum_{i=1}^{n}c$ の項は $i$ に依存しませんが、項を $n$ 個足すので $nc$ になります。

c, n = 4, 3
print(sum(c for _ in range(n)))   # 12 (= n*c)

誤って $c=4$ と答えると、$\sum(x_i-\bar x)$ のような式の展開でも、定数項の数が合わなくなります。直し方：「項の数」を数える。Σ の中に添字が無くても、足す回数は上限と下限で決まる。

まとめ

• Σ は添字を下限から上限まで（両端を含む）動かして足す。Π は同様に掛ける。
• 小さい n で展開し、手計算とコード（range の上限+1）で照合する。
• Σx² と (Σx)² は別物。偏差の和は0で、ばらつきは二乗して足す。
• 複数期間の成長は倍率の積。率の平均では代用できない。積は対数で和になる。

用語

総和（Σ）（summation）

指定した範囲の項をすべて足す記号。

総乗（Π）（product）

指定した範囲の項をすべて掛ける記号。

添字（index）

x_i の i のように、要素の番号を示す小さな文字。

偏差（deviation）

値と平均との差 x_i − x̄。

よくある質問

なぜΣ記号を使うのですか？

個数が決まっていない合計を1行で書けるからです。さらに、性質（定数倍や和の分解）を使って式変形ができ、論文やコードで同じ式を共有できます。

$\sum$ の下に $i=1$ と書かれていないときは？

$\sum_i x_i$ のように省略されたら、文脈から「$i$ の取りうる全範囲」と読みます。わからなければ前後の定義を探し、自分の資料では範囲を明記します。

Πは何に使いますか？

複数期間の成長倍率、確率の積（独立な事象の同時確率）、階乗 $n!=\prod_{k=1}^{n}k$ などです。積は桁が極端になりやすいので、対数をとって和にすることが多いです。

平均を $\frac1n\sum x_i$ と書くのはなぜですか？

合計 $\sum x_i$ を個数 $n$ で割るという定義そのものだからです。$n$ は欠損値を除いた件数なのか全件なのかで変わります。0と欠損は別物なので、どちらで割るかを決めておきます。

Pythonのループと何が違いますか？

数式は範囲が両端を含み、1始まりが多い一方、Pythonの range は上限を含まず0始まりです。この差で値が1つずれることが多いので、小さな $n$ で手計算と照合します。

実務でΣの範囲を確認する場面は？

KPIの定義で「全顧客か購入者だけか」「取消を除くか」を決めるときです。SQLの SUM や AVG が式のどの範囲を足しているかを、式に書き戻して合意します。

確認問題

次に学ぶこと

次は 数列と等比級数 で、規則的に並ぶ数（数列）とその和を学びます。等比数列の和は、この授業の Σ を使って閉じた式にします。戻るなら 対数と桁（対数）。

この授業の確認問題だけで習得とはしません。MA01 の総合テストと自力課題で判定します。