指数と増減率｜関数・指数・対数・総和

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関数・指数・対数・総和（初級・読む22分＋演習30分）

この授業のゴール

• 増減率 r を倍率 (1+r) に直し、n 回続けた結果を A(1+r)^n で計算できる
• 指数法則（積・累乗・0乗・負の指数）を数値で確かめて使える
• 「毎回同じ量を足す（線形）」と「毎回同じ割合で掛ける（指数）」の違いを数表で示せる
• 割合の差（パーセントポイント）と変化率（%）を区別して説明できる

仕事でどう使うか

売上、ユーザー数、感染者数、利息、機械学習の学習率の減衰など、実務の多くの量は割合で増減します。足し算ではなく掛け算で進むため、直感とずれやすい分野です。

「年間成長率を月に直すといくらか」「割引を重ねた最終価格は」は、会議でよく聞かれる質問です。

前提

次の知識を使います。

• 割合とパーセント（20%は0.2、10%増は1.1倍）→ 比率・割合・パーセントポイント
• 文字式と代入 → 文字式と代入
• 関数の合成（同じ操作を何度も重ねる）→ 関数・逆関数・合成

電卓か、画面内のPythonで計算できます。** は累乗（べき乗）の記号で、1.1**2 は $1.1^2$ です。

身近な状況：10%ずつ増える売上と、10ずつ増える売上

月の売上が100万円の店が2つあります。

• A店：毎月10万円ずつ増える（足し算の増加）
• B店：毎月10%ずつ増える（掛け算の増加）

1か月後は同じ110万円です。しかし2か月後、B店は 110 の10%（11万円）が増えて 121万円 になります。A店のように120万円ではありません。増える量が、その時点の大きさに比例するためです。

「10%を2回で20%増」ではなく、「1.1を2回掛けて1.21倍＝21%増」です。この授業では、この掛け算の増え方を式で書きます。

直感的な説明：増減率は「倍率」に直して掛ける

増減率 $r$ を倍率に直すと、計算が単純になります。

• 10%増（$r=0.10$）→ 倍率 1.10
• 5%減（$r=-0.05$）→ 倍率 0.95
• 100%増 → 倍率 2.00（2倍）
• 100%減 → 倍率 0（すべて失う）

倍率を掛けるだけなので、「10%増を2回」は $\times1.1\times1.1$、つまり $1.1$ を2回掛ける＝2乗です。「同じ数を何回掛けたか」を書くための記法が指数です。

増加と減少も同じ式で表せます。5%減を3回なら $0.95$ を3回掛けます。割合で動く量は、倍率の累乗で追いかけると覚えてください。

正確な定義：累乗・指数法則・複利の式

累乗（冪、べき）：$a^n$ は $a$ を $n$ 回掛けた値です。$a$ を底（てい）、$n$ を指数と呼びます。$n$ は正の整数のとき $a^n=\underbrace{a\times\cdots\times a}_{n\text{個}}$ です。

$2^3=2\times2\times2=8$、$1.1^2=1.21$ のように計算します。

指数を0や負の数に広げても、次の指数法則が成り立つように定義します。ここで $a>0$、$m,n$ は整数です。

$a^0=1$ は、$a^3\div a^3=a^{3-3}=a^0$ と、$a^3\div a^3=1$ が一致するように決めたものです。$0^0$ や、負の底での分数の指数は扱いが難しいので、以降は底 $a>0$ とします。

増減率の式：初期値を $A$、1回あたりの増減率を $r$（10%なら $0.10$）、回数を $n$ とすると、$n$ 回後の値 $V_n$ は

$$V_n=A(1+r)^n$$

です。$A$ は元の量（単位は量と同じ）、$r$ は1回あたりの率（無単位）、$n$ は回数（整数）です。$r$ の期間（月か年か）と $n$ の単位（か月か年か）を必ず揃えます。

数値代入：$A=200$、$r=0.05$、$n=3$ なら $V_3=200\times1.05^3=200\times1.157625=231.525$ です。

A, r, n = 100, 0.10, 10
exp_value = A * (1 + r) ** n      # 指数: 倍率を n 回掛ける
lin_value = A + A * r * n         # 線形: 毎回 A*r を足す
print("指数:", round(exp_value, 2))
print("線形:", round(lin_value, 2))

出力は 指数: 259.37 と 線形: 200.0 です。round(値, 2) は小数第2位に丸める関数です。

段階付き例題：割引の連続、成長率の換算

例題1：1000円の商品を「20%引き」にした後、さらに「10%引き」にした。最終価格と、全体の割引率は。

• ステップ1：倍率に直す。20%引き→0.8、10%引き→0.9。
• ステップ2：掛ける。$1000\times0.8\times0.9=720$円。
• ステップ3：全体の割引率は $1-0.72=0.28$、つまり28%引き。20%＋10%＝30%引きではありません。

例題2：月に2%ずつ増えるなら、1年（12か月）で何%増か。

• 倍率は $1.02^{12}$。$1.02^{12}\approx1.2682$。
• 年の増加率は約 26.82%。月率2%を12倍した24%ではありません（複利効果で上回ります）。

例題3：登録率が5%から8%になった。

• 差は $8-5=3$ パーセントポイント（percentage point：割合どうしの差の単位）。
• 変化率は $(8-5)/5=0.6$、つまり60%増。「3%増」と言うと、どちらの意味か不明で誤解されます。

price = 1000
final = price * 0.8 * 0.9
print("最終価格", final, "全体の割引率", 1 - final / price)
print("月2%の12か月", (1.02 ** 12 - 1) * 100)
print("pp差", 8 - 5, "変化率", (8 - 5) / 5)

出力は 720.0 と約0.28、約26.82、3 と 0.6 です（小数の下の桁は丸め誤差で多少ずれます）。

操作して理解する：回数と率を変えて線形と比べる

次のコードで r（率）と n（回数）を変えて、線形との差がどう広がるか確認します。出力は各回の値の一覧です。

A, r = 100, 0.10
for n in [0, 1, 2, 5, 10, 20, 30]:
    exp_v = A * (1 + r) ** n
    lin_v = A * (1 + r * n)
    print(n, round(exp_v, 1), round(lin_v, 1))

予想してから実行しましょう。

• n=20 では、指数が約672.7、線形が300。差が急に広がる。
• r を -0.10 にすると、指数は0に近づく（$0.9^{20}\approx0.1216$ で約12.2）が、線形は A*(1-0.1*n) で n=10 に0、n=20 に−100となり、負になる。減少を足し算で見積もると、あり得ない値が出ます。
• r=0.01 と小さくしても、n を大きくすれば指数は線形を追い越す。

成長や減衰が割合で決まるのか、一定量で決まるのかを、まずデータで確認します。差分（前回との差）が一定なら線形、比（前回との比）が一定なら指数です。

発展：倍増時間の目安と、指数成長の限界

率 $r$ で成長する量が2倍になる回数は $n$ を $(1+r)^n=2$ から求めます。この $n$ を求める操作は対数が必要で、対数と桁 で扱います。目安として、70÷（率を%で表した値）がおおよその倍増回数になります（72の法則に近いものです。厳密な式ではなく、小さな率での近似です）。

例：7%成長なら、$70\div7=10$ 回でほぼ2倍。実際は約10.24回です。

限界：実際の量は、いつまでも指数で増えません。市場の大きさ、容量、人口などの上限があり、後には成長が鈍ります（S字型のロジスティック曲線）。「今の成長率が続けば」という前提を、予測には必ず書きます。

もう一点：率が時間によって変わる場合（月ごとに2%、5%、−1%）は、$V_n=A\prod(1+r_i)$ と各回の倍率を掛け合わせます（積の記号は 総和と総乗の記号）。平均の率を足して使うと、結果がずれます。

よくある失敗

失敗1：増減率を足して合計する

「10%増を2回だから20%増」は誤りです。

A = 100
wrong = A * (1 + 0.10 * 2)    # 20%増として計算
right = A * 1.10 ** 2         # 1.1を2回掛ける
print(wrong, round(right, 2))

誤りは120、正しくは121です。2回目の10%は、110に対する10%です。回数が増えるほど差が大きくなります。直し方：率は倍率 $(1+r)$ に直して累乗する。

失敗2：20%減と20%増で元に戻ると考える

100を20%減らして80にし、その後20%増やしても、元の100には戻りません。

v = 100 * 0.8        # 20%減
v2 = v * 1.2         # 20%増
print(v, round(v2, 2))
print("元に戻す倍率", 1 / 0.8)

結果は96です。20%増は「80に対する20%」で、16しか増えません。元に戻すには $1/0.8=1.25$ 倍（25%増）が必要です。直し方：増減は基準が違う。戻す操作は逆数の倍率で考える。

失敗3：パーセントとパーセントポイントを混同する

購入率が20%から25%に上がったとき、「5%上がった」と報告すると、相対的な5%増（20%の5%＝1ポイント分）と取られる可能性があります。

before, after = 0.20, 0.25
print("差(pp):", round((after - before) * 100, 2))
print("変化率(%):", round((after - before) / before * 100, 2))

差は5パーセントポイント、変化率は25%です。直し方：割合どうしの差は「ポイント」、元の値との比較は「%増」と書き分ける。KPI定義書では、どちらで報告するかを事前に決める。

まとめ

• 割合で増減する量は、倍率 (1+r) を n 回掛ける：V=A(1+r)^n。
• 率は足せない。10%増を2回は21%増、20%減の後の20%増は元に戻らない。
• 指数法則（積・累乗・0乗・負の指数）は、底 a>0 で数値確認しながら使う。
• 割合どうしの差はパーセントポイント、元との比較は%増。KPIでは書き分ける。

用語

累乗（べき乗）（power）

同じ数を繰り返し掛けること。a^n は a を n 回掛けた値。

底と指数（base / exponent）

a^n の a を底、n を指数という。

複利（compound interest）

増えた分にも次の期の率がかかる増え方。V=A(1+r)^n。

パーセントポイント（percentage point）

割合どうしの差を表す単位。5%から8%は3ポイント。

よくある質問

なぜ「率を足す」ではなく「倍率を掛ける」のですか？

各回の増加は、その時点の量に対する割合だからです。基準が毎回変わるので、率は足せません。倍率を掛けるとどの回数でも正しい結果が出ます。

指数と線形はどう見分けますか？

データの隣り合う値の差と比を計算します。差が一定なら線形、比が一定なら指数です。グラフでは、通常の軸で曲がって見え、対数軸にすると直線になるのが指数です（次の授業）。

$a^0=1$ はなぜですか？

指数法則 $a^m\div a^n=a^{m-n}$ が $m=n$ でも成り立つようにするためです。$a^3\div a^3$ は1なので、$a^0=1$ と決めると法則が壊れません。

前年比と前月比の違いは？

基準期間が違います。前年比は1年前と比べる率、前月比は1か月前と比べる率です。KPIに書くときは、基準期間と、割合かポイント差かを明記します。

予測で「今の成長率が続く」と仮定してよいですか？

短期の目安には使えますが、長期は危険です。市場規模などの上限があるので、前提を明記し、複数の成長率（楽観・標準・悲観）で試算するのが実務の基本です。

マイナスの率（減少）も同じ式でよいですか？

はい。$r=-0.1$ なら倍率 $0.9$ で、同じ $A(1+r)^n$ を使います。ただし $r\le-1$ は倍率が0以下になり、量が残らない（または負）ことを意味するので、現実の量では通常使いません。

確認問題

次に学ぶこと

次は 対数と桁 で、「何回掛ければその値になるか」を求める対数を学びます。倍増に何年かかるかも対数で求められます。戻るなら 関数・逆関数・合成（合成）、先に進むなら 数列と等比級数（等比級数）も関連します。

この授業の確認問題だけで習得とはしません。MA01 の総合テストと自力課題で判定します。