対数と桁｜関数・指数・対数・総和

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関数・指数・対数・総和（初級・読む24分＋演習30分）

この授業のゴール

• log_b x = y を b^y = x と読み替え、簡単な値（log₂8、log₁₀0.001）を暗算できる
• 対数の定義域（x>0、底 b>0 かつ b≠1）を言い、定義外の入力で何が起きるかを示せる
• 積・累乗・底の変換の公式を使って、桁数や倍増にかかる期間を電卓とPythonで求められる
• 自然対数 ln と常用対数 log₁₀ を区別し、Pythonの math.log が自然対数であることを説明できる

仕事でどう使うか

対数は「掛け算を足し算に変える」「巨大な数を扱いやすい大きさにする」道具です。

実務でよく出る失敗は、底の取り違えと0以下への対数です。この授業で、その2つを検証できるようにします。

前提

次の知識を使います。不安があれば戻ってください。

• 累乗と指数（$2^3=8$、$a^{-n}=1/a^n$）→ 指数と増減率
• 関数と逆関数（巻き戻し）→ 関数・逆関数・合成。対数は指数関数の逆関数です。
• 桁数（3桁の数は100〜999）→ 単位と桁と丸め

この授業では電卓の log と ln キー、またはPythonの math.log を使います。

身近な状況：何回2倍にすれば1000人になるか

SNSのフォロワーが100人で、毎週2倍になるとします。1000人を超えるのは何週目でしょうか。

3週では800人で足りず、4週で1600人です。表を作れば分かりますが、「100万人になるのは？」と聞かれると、表を延々と続けることになります。

式で書くと、$100\times2^n\ge1000$、つまり $2^n\ge10$ を満たす最小の $n$ を探す問題です。$2^3=8$、$2^4=16$ なので、$n$ は3と4の間にあり、整数で言えば4週目です。この「$2^n=10$ となる $n$ は何か」という問いに、きちんとした記号を与えたものが対数です。

直感的な説明：対数は「何回掛けたか」を数える

指数は「同じ数を $n$ 回掛ける」、対数はその逆で「何回掛ければその値になるか」を答えます。

• $2^3=8$：2を3回掛けると8。逆に問うと「8は2を何回掛けた数か」→ 3。これを $\log_2 8=3$ と書く。
• $10^3=1000$：10を3回掛けると1000。「1000は10を何回掛けた数か」→ 3。$\log_{10}1000=3$。

10を底にした対数は、0の個数に近い値です（1000なら0が3個並ぶ）。つまり、$\log_{10}$ は桁数を測るものさしです。

注意：対数は「割り算の結果」ではありません。$\log_2 8$ を「8÷2」と読んではいけません。「2を何乗すると8か」と読みます。

正確な定義：定義域・底・基本公式

定義：$b>0$ かつ $b\ne1$、$x>0$ のとき、

$$y=\log_b x \iff b^y=x$$

です。$b$ を底、$x$ を真数と呼びます。$y$ は指数（単位なし）です。

定義域の理由：

• $x>0$：$b>0$ のとき $b^y$ は常に正なので、0や負の数になる $y$ は存在しません。$\log_b 0$ と $\log_b(-5)$ は実数では定義できません。
• $b\ne1$：$1^y$ はいつも1で、他の値になりません。
• $b>0$：負の底では $b^{y}$ が小数の $y$ で実数にならないためです。

よく使う底：

基本公式（$x,y>0$、$k$ は実数）：

桁数：正の整数 $N$ の10進法での桁数は $\lfloor\log_{10}N\rfloor+1$ です。$\lfloor\ \rfloor$ は小数を切り捨てる記号です。$N=12345$ では $\log_{10}N\approx4.0915$、切り捨てて4、足して5桁。

重要な値：$\log_{10}2\approx0.30103$、$\ln2\approx0.693147$、$\ln10\approx2.302585$。

注意（Python）：math.log(x) は自然対数です。底10は math.log10(x)、底2は math.log2(x)、任意の底は math.log(x, b) と書きます。numpy.log も自然対数です。

import math
print(math.log(8, 2))      # 底2: 3.0
print(math.log10(1000))    # 底10: 3.0
print(math.log(math.e))    # 自然対数: 1.0
print(math.log(100))       # 自然対数: 約4.605。2ではない

最後の行が 2.0 ではなく約4.605になる点が、底の取り違えの典型です。

段階付き例題：桁数と倍増期間を求める

例題1：桁数。$2^{100}$ は何桁か。

• ステップ1：桁数は $\lfloor\log_{10}N\rfloor+1$。
• ステップ2：$\log_{10}2^{100}=100\log_{10}2=100\times0.30103=30.103$。
• ステップ3：切り捨てて30、足して31桁。
• 意味：$2^{100}$ を直接書くと31桁の数ですが、対数なら暗算に近い手間で桁数が分かります。

例題2：倍増期間。年率7%で増える資産は何年で2倍になるか。

• ステップ1：$1.07^n=2$ を満たす $n$ を求める。
• ステップ2：両辺の自然対数をとる。$n\ln1.07=\ln2$。
• ステップ3：$n=\ln2/\ln1.07=0.693147/0.067659\approx10.24$ 年。
• ステップ4：検算 $1.07^{10.24}\approx2.0$。指数と増減率 で見た「70÷7＝10」と整合する。

import math
print(math.floor(100 * math.log10(2)) + 1)          # 31
print(math.log(2) / math.log(1.07))                  # 約10.245
print(1.07 ** (math.log(2) / math.log(1.07)))        # 2.0 に戻る

例題3：定義域の確認。$\log_{10}(x-3)$ が定義できる $x$ の範囲は、真数 $x-3>0$ より $x>3$ です。$x=3$ のとき真数が0、$x=2$ のとき−1で、どちらも定義できません。

操作して理解する：底を変え、定義外を入れてみる

同じ数について、底を変えて値がどう変わるか確かめます。底の変換公式の確認にもなります。

import math
x = 1000
for b in [2, 10, math.e]:
    print("底", round(b, 3), "log =", round(math.log(x, b), 4))
print("底の変換 ln(x)/ln(b):", round(math.log(x) / math.log(2), 4))

次に、定義域の外を入れるとどうなるかを確認します。

import math
import numpy as np
try:
    print(math.log(0))
except ValueError as e:
    print("math.log(0) は ValueError:", e)
print(np.log(np.array([1.0, 0.0, -1.0])))

math.log(0) は例外（エラー）になります。numpy では 0 は -inf（負の無限大）、−1 は nan（not a number：数値ではない）が返り、静かに続行するため、後の集計に紛れ込みます。

自分で試す問い：(1) x を 1 にしたら全部の底で 0 になるか。(2) 売上が 0 の行を含む列に np.log をかけるとどうなるか。(3) np.log1p(x)（$\ln(1+x)$）なら 0 を安全に扱えるか。答え：(1) はい（$\log_b1=0$）。(2) その行が -inf になり、平均もすべて -inf になる。(3) $x=0$ なら $\ln1=0$ で安全。ただし「0」と「1」の差が小さい量を区別する意味が変わるので、使う理由を記録しておく。

発展：なぜ自然対数 e か、対数尤度への接続

自然対数の底 $e=2.71828\cdots$ は、$(1+1/n)^n$ を $n$ を大きくしたときの極限です。連続的に複利をかけたときの倍率が $e^{rt}$ で、微分すると $e^x$ が自分自身になる（「極限と連続の直感と定義」（有料版） 以降）ため、数学・統計では自然対数が標準になります。

確率の積とアンダーフロー：独立な確率 $p_1,\dots,p_n$ の積 $\prod p_i$ は、$n$ が大きいと0に近づき、コンピュータで0と区別できなくなります（アンダーフロー）。対数をとると $\sum\ln p_i$（和）になり、安定に計算できます。機械学習の対数尤度（log-likelihood：データが出る確率の対数）は、この考え方です。

ただし、対数は単調増加（入力が増えると出力も増える）なので、最大になる位置は元の値と同じです。この性質はグラフと定義域の検証で小さな例を計算します。

注意：「データを対数変換すれば正規分布になる」は一般には成り立ちません。変換後の分布を確認する必要があります。

よくある失敗

失敗1：0以下の数の対数をとる

import numpy as np
sales = np.array([120.0, 0.0, 85.0])
print(np.log(sales))
print(np.log(sales).mean())

0 は -inf になり、平均も -inf です。「売上0」は欠損ではなく、実際に0という値です。直し方：まず0や負の値の件数を確認する。0を除外する・小さな値を足す（log1p）・別の変換を使うかを、理由とともに決める。黙って 0 を落とすと、対象が変わります。

失敗2：log(a+b) を log a + log b と計算する

公式は積について $\log(xy)=\log x+\log y$ であって、和については成り立ちません。

import math
a, b = 10, 90
print(math.log10(a + b))             # 2.0
print(math.log10(a) + math.log10(b)) # 約2.954
print(math.log10(a * b))             # 約2.954 (積なら一致)

左は2.0、右は約2.954で一致しません。直し方：「積→和」「累乗→係数」の公式だけを使い、和の対数には使わない。

失敗3：底を無説明で切り替える

math.log(100) を「2」と期待して、約4.605が出る例です。

import math
print(math.log(100))        # 自然対数 約4.605
print(math.log10(100))      # 常用対数 2.0
print(math.log(100, 10))    # 2.0

自然対数で出した値と常用対数で出した値を混ぜて比較すると、約2.3026倍（$\ln10$ 倍）ずれます。直し方：コードにも資料にも、使った底を明記する（ln、log10 と書き分ける）。比較は同じ底の値どうしだけで行う。

まとめ

• log_b x = y は b^y = x の読み替えで、「b を何回掛けると x か」を答える。
• 定義域は真数 x>0、底 b>0 かつ b≠1。0や負の数の対数は実数では定義できない。
• 積は和、累乗は係数に変わる。和の対数は分解できない。底の変換は ln x / ln b。
• 桁数は ⌊log₁₀N⌋+1、倍増期間は ln2/ln(1+r)。Pythonの math.log は自然対数。

用語

対数（logarithm）

b^y=x となる指数 y を log_b x と書く。

真数（argument of a logarithm）

log_b x の x。実数の範囲では正でなければならない。

自然対数（natural logarithm）

底が e≈2.71828 の対数。ln x と書く。

常用対数（common logarithm）

底が10の対数。桁数やデシベルに使う。

よくある質問

なぜ対数が必要なのですか？

掛け算を足し算に変え、極端に大きい・小さい数を扱いやすくするためです。また「何回掛ければその値になるか」という問い（倍増期間など）は、対数でしか直接答えられません。

底は何を選べばよいですか？

目的で選びます。桁数は10、情報量や2倍の回数は2、解析・統計は自然対数が標準です。底が違っても値は定数倍の違いだけです。大事なのは、資料に底を明記して統一することです。

対数は負になってよいのですか？

はい。真数が1未満の正の数なら負になります（$\log_{10}0.001=-3$）。真数が負になることとは別の話で、そちらは定義できません。

売上が0の行があるとき、対数変換はどうしますか？

まず0の件数と意味（本当に0か、未入力か）を確認します。log1p を使う、0を除いて対象を限定する、別の変換を使うなどの選択があり、どれを選んだかを分析メモに残します。黙って落とさないのが原則です。

対数をとると何が変わりますか、変わらないことは何ですか？

大小関係は変わりません（単調増加）。差の意味が「比」に変わります。対数の差は倍率の対数なので、10と20の差（2倍）が、100と200の差（同じ2倍）と同じ幅で並びます。

$\log$ とだけ書いてあるとき、底は何ですか？

分野で違います。数学・統計・情報科学の多くは自然対数、工学・化学は常用対数のことが多いです。判断できないときは確認し、自分が書く資料では必ず底を示します。

確認問題

次に学ぶこと

次は 総和と総乗の記号 で、たくさんの値を足す記号 Σ と掛ける記号 Π を学びます。対数は積を和に変えるので、L04・L06 の対数尤度につながります。戻るなら 指数と増減率（指数）。

この授業の確認問題だけで習得とはしません。MA01 の総合テストと自力課題で判定します。