グラフと定義域の検証｜関数・指数・対数・総和

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関数・指数・対数・総和（中級・読む25分＋演習35分）

この授業のゴール

• 関数のグラフを描き、定義域の外の入力が何を引き起こすか（エラー・nan・-inf）を確認できる
• 線形軸と対数軸のグラフを使い分け、指数的な増加を対数軸で直線として見分けられる
• 確率の小例で対数尤度を計算し、p の取りうる範囲（0
• 複利と対数尤度の計算を、手計算とコードで照合して検算できる

仕事でどう使うか

式やコードを「書けた」ことと「正しい範囲で使える」ことは別です。入力が定義域の外に出ると、エラーになるか、気づかないまま nan や inf が混ざります。

実務では「この式はどの範囲で正しいか」「その前提が満たされているか」を答えられることが、計算力と同じくらい求められます。

前提

この授業はMA01のまとめです。次の内容を使います。

• 関数・定義域・合成 → 関数・逆関数・合成
• 指数と増減率（複利） → 指数と増減率
• 対数の定義域と底 → 対数と桁
• Σ（総和）と Π（総乗） → 総和と総乗の記号
• 等比級数 → 数列と等比級数

コードは画面内のPythonで実行します。図は plt.show() を書かなくても表示されます。

身近な状況：コイン投げ5回で3回表だった

ある新機能のボタンを5回表示したところ、3回クリックされました（クリックを「表」と呼びます）。真のクリック確率 $p$ はいくつだと考えるのがもっともらしいでしょうか。

$p$ の候補ごとに、「5回中3回クリック」というデータがどれだけ起こりやすいかを計算します。1回ごとの結果は独立と仮定します。

• $p=0.5$ のとき：$0.5^3\times0.5^2=0.03125$
• $p=0.6$ のとき：$0.6^3\times0.4^2=0.216\times0.16=0.03456$

$p=0.6$ のほうが、データを説明する力が少し高いことがわかります。この「データが出る確率」を $p$ の関数として見たものを尤度（ゆうど、likelihood）と呼びます。確率の積が小さくなりやすいので、対数をとった対数尤度で扱います。この授業では、指数・対数・総和・定義域を総動員して、この小さな例を完全に検証します。

直感的な説明：グラフは「入力を動かして出力を見る」装置

グラフは、入力 $x$ を左から右に動かしたときの出力 $y$ を、点でつないだ絵です。読むときの確認は3点です。

1. どの範囲の $x$ を描いたか（定義域のうち、どこまで見ているか）
2. どの軸が線形で、どの軸が対数か（目盛りの等間隔が、足し算か掛け算か）
3. 範囲外ではどうなるか（外挿の危うさ）

対数軸では、目盛りが10倍ずつ（1, 10, 100, …）等間隔に並びます。指数的に増える量 $y=A\,r^x$ は、$\ln y=\ln A+x\ln r$ と $x$ について直線なので、縦軸を対数にすると直線に見えます。傾きが成長率に対応します。

正確な定義：定義域の検証手順と対数尤度

定義域の検証手順（式を使う前に毎回）：

1. 式に出てくる割り算（分母が0でない）
2. 平方根（中身が0以上）
3. 対数（真数が正、底は正で1でない）
4. 指数（底が正）
5. 実世界の制約（確率は0〜1、個数は0以上の整数、率が−1より大きい）

ベルヌーイ試行の対数尤度：1回ごとに確率 $p$ で成功（1）、確率 $1-p$ で失敗（0）とします。$n$ 回のうち $k$ 回成功のとき、尤度と対数尤度は

$$L(p)=p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad \ell(p)=\ln L(p)=k\ln p+(n-k)\ln(1-p)$$

$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は成功確率で定義域は $0<p<1$ です（$p=0$ や $1$ では $\ln p$ や $\ln(1-p)$ が定義できません）。$\ln$ は自然対数です（対数と桁）。

数値代入：$n=5,\ k=3,\ p=0.6$ のとき

$\ell(0.6)=3\ln0.6+2\ln0.4=3(-0.5108)+2(-0.9163)=-1.5325-1.8326=-3.3651$。

確認：$\ln L(0.6)=\ln0.03456=-3.3651$ と一致します。$p=0.5$ では $\ell(0.5)=5\ln0.5=-3.4657$ で、$p=0.6$ のほうが大きい（0に近い）ので、データをよりよく説明します。

注意：対数尤度は負の数です。「負の値だから悪い」のではなく、大きいほど（0に近いほど）よいと読みます。比較は同じデータ・同じ底で行います。

import math

def loglik(p, n, k):
    # p: 成功確率 (0<p<1)  n: 試行回数  k: 成功回数  戻り値: 対数尤度 (float)
    if not (0 < p < 1):
        raise ValueError("p は 0 より大きく 1 より小さい値にしてください: " + str(p))
    return k * math.log(p) + (n - k) * math.log(1 - p)

for p in [0.3, 0.5, 0.6, 0.7]:
    print(p, round(loglik(p, 5, 3), 4))

出力は p=0.3 で約−4.3253、0.5 で−3.4657、0.6 で−3.3651、0.7 で約−3.478です。0.6付近が最大に近いことがわかります。

段階付き例題：複利と対数尤度を同じ手順で検証する

例題A：複利。100万円を年3%の複利で10年運用する。

• ステップ1：定義域。倍率 $1+r=1.03>0$、年数 $n=10$（整数）。範囲は問題ない。
• ステップ2：$100\times1.03^{10}=100\times1.343916=134.39$ 万円。
• ステップ3：検算。線形の見積もり $100\times(1+0.03\times10)=130$ 万円と比較し、指数のほうが大きいことを確認。
• ステップ4：倍増期間 $\ln2/\ln1.03\approx23.45$ 年。

例題B：対数尤度。$n=10$ 回中 $k=4$ 回成功、$p=0.4$ と $0.5$ を比較。

• ステップ1：定義域 $0<p<1$ を確認。
• ステップ2：$\ell(0.4)=4\ln0.4+6\ln0.6=4(-0.9163)+6(-0.5108)=-6.7301$。
• ステップ3：$\ell(0.5)=10\ln0.5=-6.9315$。
• ステップ4：$\ell(0.4)>\ell(0.5)$ なので、$p=0.4$（成功の割合 $k/n$）のほうがデータをよく説明する。差は約0.2014。

import math
print(round(100 * 1.03 ** 10, 2), round(100 * (1 + 0.03 * 10), 2))
print(round(math.log(2) / math.log(1.03), 2))
def loglik(p, n, k):
    return k * math.log(p) + (n - k) * math.log(1 - p)
print(round(loglik(0.4, 10, 4), 4), round(loglik(0.5, 10, 4), 4))

出力は 134.39 と 130.0、23.45、−6.7301 と −6.9315 です。

操作して理解する：グラフで確かめ、範囲外を入れてみる

まず、指数と線形を線形軸と対数軸で並べます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(0, 31)
exp_y = 100 * 1.1 ** x
lin_y = 100 + 10 * x
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3.5))
for a, log in zip(ax, [False, True]):
    a.plot(x, exp_y, label="指数 1.1倍/期")
    a.plot(x, lin_y, label="線形 +10/期")
    if log:
        a.set_yscale("log")
    a.set_title("縦軸 " + ("対数" if log else "線形"))
    a.set_xlabel("period")
    a.legend()

左（線形軸）では指数がカーブを描き、右（対数軸）では指数が直線、線形がゆるやかなカーブになります。軸の種類が違えば、同じデータでも見え方が違うことに注意します。

次に、対数尤度を $p$ の関数として描き、範囲を確認します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
n, k = 5, 3
p = np.linspace(0.01, 0.99, 99)
ll = k * np.log(p) + (n - k) * np.log(1 - p)
plt.plot(p, ll)
plt.axvline(k / n, linestyle="--")
plt.xlabel("p (0<p<1)")
plt.ylabel("log-likelihood")
print("最大の p:", round(float(p[np.argmax(ll)]), 2))

出力の 最大の p: 0.6 は、$k/n=3/5$ と一致します。端の $p\to0$、$p\to1$ では値が急激に小さく（絶対値が大きく）なります。p を np.linspace(0, 1, 101) に変えて0と1を含めるとどうなるかも試してみましょう。0と1で -inf が出て、argmax や平均が壊れます。

発展：外挿の危うさと数値的な安定性

外挿（観測した範囲の外を予測すること）は、モデルの形が範囲外でも成り立つと仮定する行為です。月次成長率10%を観測した3か月のデータから、5年後の値を指数で予測しても、市場の限界やデータの偏りを無視しています。予測には必ず前提と範囲を書きます。

数値的な安定性：np.log(0) は -inf になります。確率が0に近いときは np.clip(p, 1e-12, 1-1e-12) のように範囲を制限する実装がよく使われます。これは「定義域に入れる」操作ですが、人工的に値を変えるので、制限した件数を記録します。

最尤推定（尤度を最大にする $p$ を選ぶ方法）では、$\ell(p)$ を $p$ で微分して0とおくと $\hat p=k/n$ を得ます。微分は「極限と連続の直感と定義」（有料版）以降で学びます。ここでは図で最大位置が $k/n$ であることを確認すれば十分です。ただし、データが少ない（$n=5$）ときは $\hat p$ の不確かさが大きいことに注意します（区間推定は統計モジュールで扱います）。

よくある失敗

失敗1：p=0 や p=1 を対数尤度に入れる

import numpy as np
n, k = 5, 3
for p in [0.0, 0.6, 1.0]:
    with np.errstate(divide="ignore", invalid="ignore"):
        print(p, k * np.log(p) + (n - k) * np.log(1 - p))

$p=0$ や $p=1$ では -inf（または nan）になります。$k=3$ のデータで $p=0$ とは「成功が一度も起きない」という主張で、データと矛盾します。直し方：$p$ の範囲を $0<p<1$ に限り、範囲外は例外にするか、理由を記録したうえで制限する。

失敗2：対数軸のグラフで0や負の値を描こうとする

import numpy as np
y = np.array([100.0, 10.0, 0.0, -5.0])
with np.errstate(divide="ignore", invalid="ignore"):
    print(np.log10(y))

0は -inf、−5は nan で、対数軸には描けません（描画ソフトはこれらの点を黙って省略することがあります）。直し方：対数軸を使う前に、最小値が正かどうか確認する。省略された点があれば、その件数を注記する。

失敗3：外挿した直線・曲線を事実のように報告する

import numpy as np
t = np.arange(1, 7)
y = 100 * 1.1 ** t
b = np.polyfit(t, np.log(y), 1)
pred = np.exp(np.polyval(b, 60))
print("60期後の予測:", round(float(pred), 1))

6期分のデータから60期後を予測すると約30,448という巨大な値が出ますが、市場の上限などの制約を考慮していません。直し方：予測の範囲と前提（成長が続く期間）を明記し、複数のシナリオ（楽観・標準・悲観）を示す。

まとめ

• 式を使う前に、割り算・平方根・対数・指数・実世界の制約という5点で定義域を確認する。
• 対数尤度 ℓ(p)=k ln p+(n−k) ln(1−p) の定義域は 0
• 縦軸を対数にすると、一定の成長率の量は直線に見える。軸の種類は図に明記する。
• 外挿は前提と範囲を書く。0や負の対数は nan/-inf として静かに混ざるので事前に検証する。

用語

尤度・対数尤度（likelihood / log-likelihood）

データを固定してパラメータの関数として見た、そのデータの起こりやすさ。対数尤度はその自然対数。

外挿（extrapolation）

観測した範囲の外を予測すること。

対数軸（log scale）

目盛りが10倍や2倍ごとに等間隔に並ぶ軸。

よくある質問

なぜグラフを描く前に定義域を確認するのですか？

範囲外の入力は、エラーで止まるより nan や -inf として静かに混ざるほうが危険だからです。事前の確認で、集計や図の異常の原因を絞れます。

対数軸と線形軸はどう使い分けますか？

桁が大きく異なるデータや、成長率の一定性を見たいときは対数軸、絶対的な増加量を見せたいときは線形軸です。読み手に伝わるように、軸の種類を図に明記します。

尤度と確率の違いは？

確率はパラメータを固定してデータの起こりやすさを言い、尤度はデータを固定してパラメータの「もっともらしさ」を $p$ の関数として見ます。尤度は $p$ について足して1になる量ではありません。

対数尤度が負なのは問題ですか？

問題ありません。尤度が1以下なので、対数は0以下になります。比較には、大きいほど（0に近いほど）よいと読みます。

複利と対数尤度は何のつながりがありますか？

どちらも「掛け算を対数で足し算に変えて扱う」点が共通です。複利の倍増期間は $\ln2/\ln(1+r)$、対数尤度は確率の積の対数です。定義域（$1+r>0$、$0<p<1$）を確認する手順も同じです。

実務で `nan` が出たらどう調べますか？

対数・割り算・平方根の入力を順に出力して、0や負の値が入っていないかを確認します。見つけたら、その行の意味（本当に0か、欠損か）を確認してから処理方法を決めます。

確認問題

次に学ぶこと

MA01 はこれで終わりです。総合テストと自力課題に進んでください。つまずいたら、定義域は 対数と桁、複利は 指数と増減率、Σ と Π は 総和と総乗の記号 に戻ります。先に進む次のモジュールは 集合・命題・証明の読み方（有料版）（集合・命題・証明の読み方）、微分は 微分・近似・1変数の最適化（有料版） です。

この授業の確認問題だけで習得とはしません。MA01 の総合テストと別条件の自力課題で判定します。