記述と確率｜統計検定2級の体系とオリジナル演習

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統計検定2級の体系とオリジナル演習（中級・読む30分＋演習35分）

この授業のゴール

• 小さなデータから平均・中央値・分散（n と n−1 の区別つき）・標準化得点・変動係数を電卓で求め、選択肢の誤りの原因を言える
• 複数期間の成長率を幾何平均でまとめ、算術平均との違いを数値で示せる
• 条件付き確率とベイズの定理を表に直して計算し、$P(A\mid B)$ と $P(B\mid A)$ の取り違えを見抜ける
• 確率変数の1次式・和の期待値と分散を求め、標本調査法とフィッシャーの3原則の名前を目的と結びつけて説明できる

仕事でどう使うか

記述統計と確率は、統計検定2級の範囲の前半にあたり、後半の推定・検定・回帰の土台になります（範囲の確認は 対象範囲と項目対応）。ここでの計算ミスや取り違えは、実務でもそのまま報告の誤りになります。

この授業は、内蔵授業の内容を試験で問われる形に並べ直した総整理です。各節の最後に「戻り先」を書きます。

確認日と出典：この授業の試験情報は、2026年10月（10月11日）に統計検定の公式サイトで確認した内容です。
- 統計検定2級のページ：https://www.toukei-kentei.jp/grade/grade2/
- 試験概要のページ：https://www.toukei-kentei.jp/about/summary
- 統計検定2級 出題範囲表（PDF）：https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf
- 出題範囲表の改訂のお知らせ：https://www.toukei-kentei.jp/news/post-8545

試験の方式・範囲・合格水準は変わることがあります。受験前に必ず公式サイトの最新情報で確認してください。

前提

次の内容を一度学んでいることを前提にします。

• 代表値と散らばり（分散・標準偏差）→ 代表値と散らばり、外れ値と頑健性 → 外れ値と頑健性
• 増減率と指数 → 指数と増減率
• 条件付き確率 → 「条件付き確率」（有料版）、独立 → 「独立と条件付き独立」（有料版）、ベイズの定理 → 「ベイズの定理」（有料版）、ベースレート → 「検査・分類のベースレート」（有料版）
• 期待値と分散 → 「期待値と分散」（有料版）、二項分布 → 「ベルヌーイ・二項・ポアソン」（有料版）、相関 → 「共分散と相関」（有料版）
• 抽出設計 → 「抽出設計と選択バイアス」（有料版）、無作為化 → 「無作為化」（有料版）、ブロック化 → 「ブロック化・層別化」（有料版）

記号：$\bar{x}$ は標本平均、$s^2$ は不偏分散（n−1で割る分散）、$E[X]$ は期待値、$V[X]$ は分散です。

身近な状況：同じデータから3つの「分散」が出てくる

ある店舗の5日間の返品件数が 4, 6, 6, 8, 11 件でした。3人が「ばらつき」を計算したところ、答えがそろいませんでした。

3人とも計算は合っています。違うのは何を求めたかです。試験の選択肢には、このように「計算は正しいが、求める量が違う」値が並ぶことがよくあります。問題文が「分散」「不偏分散」「標本標準偏差」のどれを求めているか、どちらの定義を使うと書いてあるかを読まずに計算を始めると、正しく計算したのに失点します。

確率でも同じことが起きます。「不良品のうち検査で陽性になる割合」と「検査で陽性になったもののうち不良品の割合」は、言葉が似ていても値はまったく違います。この授業では、求める量を言葉で確定してから計算する習慣を、記述と確率の代表的な問題で練習します。

直感的な説明：記述は「要約」、確率は「表の割り算」

記述統計は、データを少数の数値に要約する作業です。要約には必ず情報の損失があるので、「何を残し、何を捨てたか」を意識します。

• 平均は合計を残す要約、中央値は順位を残す要約です。外れ値が1つあると平均は動き、中央値はほとんど動きません。
• 分散・標準偏差は「平均からの離れ具合」、変動係数は「平均に対する相対的な離れ具合」です。
• 成長率は掛け算で積み重なるので、まとめるときも掛け算（幾何平均）を使います。

確率の問題の多くは、人数の表（分割表）に直して割り算すると迷いません。例えば「1万人のうち…」と仮の人数を置き、各セルの人数を埋めます。「〜のうち」の後ろに来る集団が分母です。条件付き確率の取り違えは、ほとんどが分母の取り違えです。

たとえ話の限界：「人数の表」は離散的な事象の確率には便利ですが、連続分布の確率（正規分布の面積など）は表の割り算では求められません。その場合は分布の表（数値表）を使います（解く順序と計算）。

正確な定義：試験で使う式と条件の一覧

1. 代表値と散らばり（データ $x_1, \dots, x_n$）

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad S_{xx} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

$S_{xx}$ は偏差平方和（単位は元の単位の2乗）です。$S_{xx}/n$ を標本分散、$S_{xx}/(n-1)$ を不偏分散 $s^2$ と呼ぶ流儀が一般的ですが、教科書によって呼び名が違うので、問題文の定義を優先します。標準偏差はその平方根で、元の単位に戻ります。

2. 標準化と変動係数：$z = (x - \bar{x})/s$ は「平均から標準偏差何個分離れているか」（単位なし）。変動係数 $CV = s/\bar{x}$ は平均が正の量で、平均の大きさが違う集団のばらつきを比べるときに使います（単位なし）。

3. 歪度と尖度：歪度（わいど）は分布の左右の偏りを表し、右に裾が長い（大きい値の側に外れ値がある）と正になります。このとき一般に平均が中央値より大きくなります。尖度（せんど）は裾の重さ・とがり具合を表し、正規分布を基準に3を引いた「超過尖度」で表すことも多いので、どちらの定義かを確認します。

4. 成長率の平均：期間ごとの成長率 $r_1, \dots, r_k$ をまとめた1期あたりの平均成長率は

$$\bar{r}_G = \left(\prod_{t=1}^{k}(1 + r_t)\right)^{1/k} - 1$$

です（$\prod$ は掛け算の記号。総和と総乗の記号）。移動平均は、季節などの周期的な変動をならして傾向を見る方法です（「トレンド・季節性・定常性」（有料版））。

5. 確率：$P(A \mid B) = P(A \cap B)/P(B)$（$P(B)>0$）。ベイズの定理は

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c)}$$

で、$A^c$ は「A でない」事象です。$A$ と $B$ が独立とは $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つことです。

6. 期待値と分散（$a, b$ は定数）：$E[aX+b] = aE[X]+b$、$V[aX+b] = a^2V[X]$。$X, Y$ が独立なら $V[X \pm Y] = V[X] + V[Y]$（引き算でも足す）。二項分布 $B(n,p)$ は $E=np$、$V=np(1-p)$。

7. データ収集法の用語

疑似相関は、2つの変数に共通の原因（交絡因子）があるために、因果関係がないのに相関が現れることです（「DAGと交絡」（有料版））。

段階付き例題：記述・成長率・ベイズを1問ずつ

例題1（記述）：返品件数 4, 6, 6, 8, 11 の平均・中央値・不偏分散・標準偏差。

• 入力：n=5、合計35。
• 処理：$\bar{x}=35/5=7$。並べ替えると中央（3番目）は6。偏差は $-3,-1,-1,1,4$、2乗は $9,1,1,1,16$ で $S_{xx}=28$。不偏分散 $s^2=28/4=7.0$、標準偏差 $s=\sqrt{7}\approx 2.646$ 件。
• 出力と意味：平均7件 > 中央値6件。11件の日が平均を引き上げており、右に裾が長い（歪度が正）分布です。

例題2（標準化と変動係数）：試験の点数80点、平均65点、標準偏差10点なら $z=(80-65)/10=1.5$。平均の1.5標準偏差上です。製品Aの重さが平均50g・標準偏差5g、製品Bが平均200g・標準偏差12gなら、$CV_A=5/50=0.10$、$CV_B=12/200=0.06$。標準偏差はBが大きいのに、相対的なばらつきはAが大きいと読みます。

例題3（成長率）：売上が 100 → 120 → 90（万円）と動いた。成長率は +20%、−25%。

• 誤り：算術平均 $(20-25)/2=-2.5\%$。この率で2期進めると $100\times0.975^2\approx 95.06$ で、実際の90と合いません。
• 正解：$\bar{r}_G=\sqrt{1.2\times0.75}-1=\sqrt{0.9}-1\approx-0.0513$、つまり 1期あたり約 −5.13%。$100\times0.9487^2\approx 90$ で一致します。

例題4（ベイズ）：ある不良の発生率2%、検査は不良品の90%を陽性と判定し、良品の5%を誤って陽性と判定する。陽性と出た製品が本当に不良である確率は？

10,000個と置いて表を作ります。

求めるのは「陽性のうち不良」なので分母は陽性の670。$180/670\approx 0.269$、約26.9%です。「90%」と答えるのは $P(\text{陽性}\mid\text{不良})$ と取り違えた誤答、「2%」は事前確率のままの誤答です。発生率が低いと、陽性の大半は良品の誤検知になります（「検査・分類のベースレート」（有料版））。

例題5（期待値と分散）：不良率0.3の工程から10個取り出したときの不良数 $X\sim B(10, 0.3)$。$E[X]=3$、$V[X]=10\times0.3\times0.7=2.1$。不良が0個の確率は $0.7^{10}\approx0.028$ です。

操作して理解する：値を変えて、選択肢の誤答を再現する

次のコードで例題の値を確かめ、条件を変えて結果がどう動くかを観察します。np.var(x, ddof=1) の ddof（delta degrees of freedom）は分母を n - ddof にする引数で、ddof=0 なら n、ddof=1 なら n−1 で割ります。戻り値は float（小数）です。

import numpy as np
from scipy import stats

x = np.array([4, 6, 6, 8, 11], dtype=float)
print("平均", x.mean(), "中央値", np.median(x))
print("n で割る分散", x.var(ddof=0), " n-1 で割る分散", x.var(ddof=1))
print("標準偏差(n-1)", round(x.std(ddof=1), 3))
print("歪度", round(stats.skew(x), 3), " 超過尖度", round(stats.kurtosis(x), 3))

# 成長率: 算術平均と幾何平均
g = np.array([1.20, 0.75])
print("算術平均の率", round(g.mean() - 1, 4), " 幾何平均の率", round(g.prod() ** (1/len(g)) - 1, 4))

# ベイズ: 発生率を変えると陽性的中率がどう動くか
for prev in [0.02, 0.10, 0.50]:
    sens, fpr = 0.90, 0.05
    ppv = sens*prev / (sens*prev + fpr*(1-prev))
    print(f"発生率 {prev:.0%} -> 陽性のうち不良 {ppv:.1%}")

出力の要点：分散は 5.6（n）と 7.0（n−1）、標準偏差2.646、歪度は約0.543（正＝右に裾）、超過尖度は約−0.832。成長率は算術 −0.025、幾何 −0.0513。陽性的中率は、発生率2%で26.9%、10%で66.7%、50%で94.7%と大きく変わります。

考える問い

1. 11件を30件に変えると、平均と中央値はそれぞれどう動くでしょう。→ 平均は 7→10.8 に上がり、中央値は6のままです。外れ値に強い要約が中央値です。
2. 検査の誤検知率 fpr を0.05から0.01に下げると、発生率2%での陽性的中率は？ → $0.018/(0.018+0.0098)\approx 64.7\%$ まで上がります。誤検知率を下げる効果が大きいことがわかります。

発展：定義の流儀・独立と無相関・抽出法の偏り

分散の流儀：教科書によっては $S_{xx}/n$ を「分散」、$S_{xx}/(n-1)$ を「不偏分散」と呼び、別の教科書では $S_{xx}/(n-1)$ を「標本分散」と呼びます。試験では問題文の定義に従い、実務の報告では「n−1で割った」と明記します。n が大きいと両者の差は小さくなります（n=100なら約1%）。

独立と無相関：独立なら相関係数は0ですが、相関係数が0でも独立とは限りません。$X$ が $-1, 0, 1$ を等確率でとり $Y=X^2$ のとき、共分散は0ですが $Y$ は $X$ で完全に決まります。相関係数は直線的な関係しか測りません（「共分散と相関」（有料版））。

期待値の和：$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ は独立でなくても成り立ちますが、$V[X+Y]=V[X]+V[Y]$ は独立（正確には無相関）のときだけです。一般には $V[X+Y]=V[X]+V[Y]+2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$ です。

抽出法の偏り：系統抽出は、名簿の並びに周期（例：7日周期のシフト表から7人おき）があると、特定の曜日だけを選ぶ偏りが生じます。集落抽出は調査の手間が減る一方、集落内の人が似ていると精度が下がります。層化抽出は層内が均質なほど精度が上がります。いずれも、回答しない人の偏り（非回答バイアス）は抽出法では防げません（「抽出と回収の偏り」（有料版））。

局所管理の実例：肥料の効果を比べる畑の実験で、日当たりの違う区画をまとめて1つのブロックとし、ブロック内で肥料をランダムに割り付けると、日当たりの差が比較に混ざりにくくなります（「ブロック化・層別化」（有料版））。

よくある失敗

失敗1：n で割るか n−1 で割るかを確かめずに選ぶ

誤った例：「不偏分散を求めよ」という問題で、偏差平方和28を n=5 で割り 5.6 を選ぶ。

なぜ誤りか：不偏分散は n−1 で割るので $28/4=7.0$ が正解です。選択肢には5.6、7.0、$\sqrt{7}\approx2.65$、$\sqrt{5.6}\approx2.37$ が並ぶことがあり、どれも「計算は正しいが求める量が違う」値です。

直し方：計算を始める前に、答案の横に「求める量：不偏分散（n−1）」と書く。答えが出たら、単位（2乗か元の単位か）でもう一度確かめる。

失敗2：成長率を算術平均でまとめる

誤った例：+20% と −25% の平均成長率を $(20-25)/2=-2.5\%$ とする。

検算すると、$100\times0.975\times0.975\approx95.06$ で、実際の最終値90と合いません。成長率は掛け算で積み重なるので、正しくは幾何平均 $\sqrt{1.2\times0.75}-1\approx-5.13\%$ です。

直し方：「1期あたりの平均成長率」は、最初と最後の値の比 $90/100=0.9$ の k 乗根から1を引く、と覚える。答えを出したら、その率で元の値から最終値を再現できるか検算する。

失敗3：$P(A\mid B)$ と $P(B\mid A)$ を取り違える／分散の引き算をする

誤った例A：「検査は不良品の90%を陽性と判定する」と書いてあるので、陽性の製品が不良である確率を90%と答える。正しくは表を作って $180/670\approx26.9\%$。分母が「不良品」から「陽性」に変わっています。

誤った例B：独立な $X$（分散16）と $Y$（分散9）について、$V[X-Y]=16-9=7$ とする。正しくは $V[X-Y]=V[X]+(-1)^2V[Y]=25$。$Y$ を引いても、$Y$ のばらつきは加わります。

直し方：条件付き確率は「〜のうち」の後ろを分母として表に書く。分散の1次式は係数を2乗する（$(-1)^2=1$）と覚え、分散が負になったら必ず誤りと判断する。

まとめ

• 計算の前に求める量（分散か不偏分散か標準偏差か）を言葉で確定する。選択肢には「計算は正しいが量が違う」値が並ぶ。
• 平均の大きさが違う集団は変動係数で比べ、成長率は幾何平均でまとめて検算する。
• 条件付き確率は仮の人数の表に直し、「〜のうち」を分母にする。ベイズでは事前確率（発生率）が結果を大きく左右する。
• $V[aX+b]=a^2V[X]$、独立なら $V[X\pm Y]=V[X]+V[Y]$。分散が負になったら誤り。
• 抽出法（単純無作為・層化・集落・系統・多段）とフィッシャーの3原則（反復・無作為化・局所管理）は目的とセットで覚える。

用語

変動係数（coefficient of variation）

標準偏差を平均で割った値。単位がなく、平均の大きさが違う集団のばらつきを比べるのに使う。

幾何平均（成長率）（geometric mean）

各期の倍率 (1+r) の積の k 乗根。1を引くと1期あたりの平均成長率になる。

歪度（skewness）

分布の左右の偏りを表す指標。右に裾が長いと正。

尖度（kurtosis）

分布の裾の重さ・とがり具合の指標。正規分布を基準に3を引いた超過尖度で表すこともある。

フィッシャーの3原則（Fisher's three principles）

実験計画の原則で、反復・無作為化・局所管理の3つ。

集落抽出（cluster sampling）

学校や店舗などの集団を単位に無作為に選び、選んだ集団の全員を調べる抽出法。

よくある質問

なぜ n−1 で割るのですか？

標本平均は標本に最も近くなるように決まるため、標本平均からの偏差平方和は、母平均からの偏差平方和より小さめになります。n−1で割ると、その小ささを平均的に補正でき、母分散の不偏推定量になります（「無作為標本と推定量」（有料版））。

平均と中央値のどちらを答えるべきか、どう判断しますか？

試験では問題文の指示に従います。実務では、外れ値や右に裾の長い分布（所得・待ち時間など）では中央値も併記します。合計を問題にする場面（総売上の予測）では平均が必要です。

ベイズの問題で式を覚えられません。

式を覚えるより、10,000人などの仮の人数で表を作るほうが確実です。表ができれば、求める確率は「〜のうち」の行か列の合計を分母にした割り算です。

条件が変わって、独立でない場合はどうなりますか？

期待値の和はそのまま成り立ちますが、分散には $2\,\mathrm{Cov}(X,Y)$ の項が加わります。問題文に「独立」とあるかを必ず確認し、なければ共分散が与えられているかを探します。

疑似相関と、ただの偶然の相関は違うのですか？

違います。疑似相関は共通の原因（交絡因子）による系統的な相関で、データを増やしても消えません。偶然の相関は標本のぶれによるもので、データを増やすと弱まります。どちらも因果関係の証拠にはなりません（「DAGと交絡」（有料版））。

仕事でこの内容をどう判断に使いますか？

例えば不良検知AIの導入判断で、「精度99%」と聞いたら、不良の発生率と誤検知率から陽性的中率を計算します。発生率が低いと警報の多くが空振りになり、現場の確認作業が増えるので、運用コストの見積もりが変わります。

確認問題

次に学ぶこと

次は 推定と区間 で、標本分布と区間推定を「条件を読んで式を選ぶ」形で整理します。標準誤差の考え方に不安があれば 「標準誤差」（有料版） へ戻ってください。

この授業で間違えた問題は、誤りの種類で戻り先を決めます：分母の取り違え → 「条件付き確率」（有料版）、「検査・分類のベースレート」（有料版）／分散の計算 → 代表値と散らばり、「期待値と分散」（有料版）／成長率 → 指数と増減率／実験・抽出の用語 → 「抽出設計と選択バイアス」（有料版）、「ブロック化・層別化」（有料版）。この授業の確認問題だけで習得とはしません。CE01の総合テストと模試（オリジナル模試と弱点補習）で判定します。